ساده ترین روش برای حل برابریِ $\bigg(\sqrt{2+\sqrt{3}}\bigg)^{x}+\bigg(\sqrt{2-\sqrt{3}}\bigg)^{x}=4$ چیست؟

Question

آیا روشی ساده برای دانش‌آموز کلاس نهم هست که مقدار $x$ در برابریِ زیر را بتواند حساب کند؟

$$\large\bigg(\sqrt{2+\sqrt{3}}\bigg)^{x}+\bigg(\sqrt{2-\sqrt{3}}\bigg)^{x}=4$$

Comments

@rezasalmanian دیدگاه‌هایی که برای تعداد بسیاری از پرسش‌هایتان در روزهای متفاوت گذاشتم را خوانده‌اید؟ تمامی‌شان هم یک موضوع را یادآور می‌شوند که لطفا عنوان را کلی نگذارید. برای نمونه خود معادله‌ای که در پرسش نوشته‌اید آنقدر طولانی نیست که نشود در عنوان پرسش آورد. دلیل خاصی دارد که کماکان عنوان پرسش‌هایتان را «مقدار $x$ را بدست آورید» می‌گذارید؟

---

rezasalmanian@
ببینید میتونیم بگیم اولین فکر برای حذف رادیکال توانهای زوج طبیعی است و با آزمون و خطا می بینید که با شروع 2 تساوی برقراره،اما اگر با توان منفی هم آشنا باشند 2- را هم تست کنند که با مخرج مشترک گیری یا با گویا کردن مخرج ها بازهم تساوی را برقرار خواهند دید

Answer 1

به نام خدا.

ابتدا باید به اتحاد مزدوج توجه کرد. داریم:

$( \sqrt{2- \sqrt{3} })^x × (\sqrt{2+\sqrt{3} })^x=1$

حال می نویسیم: $ (\sqrt{2+ \sqrt{3} })^x =a$

$a+ \frac{1}{a}=4 \Longrightarrow a^2-4a+1=0 \Longrightarrow a=2 \pm \sqrt{3}$

بنابراین

$( \sqrt{2+ \sqrt{3} } )^x=2 \pm \sqrt{3}$

که دو جواب دارد. $x=2,-2$

Answer 2

دقت کنید که $$\sqrt{2+\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{4+2\sqrt{3}}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{(1+\sqrt{3})^2}}{\sqrt{2}}=\frac{1+\sqrt{3}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$$ به طور مشابه داریم $$\sqrt{2-\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{4-2\sqrt{3}}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{(1-\sqrt{3})^2}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$$