آیا تنها پاسخ مثبت برای برابریِ $x+\frac{x}{\sqrt{(x^2-۱)}}=۲\sqrt{۲}$ پذیرفتنی است؟

Question

برابریِ زیر را در نظر بگیرید.

$$x+\frac{x}{\sqrt{(x^2-۱)}}=۲\sqrt{۲}$$

جواب‌های معادلهٔ بالا را مثبت و منفی رادیکال دو در آورده‌ام. اما پاسخنامه می‌گوید $x$ باید مثبت باشد؟ چرا؟ مگر دامنه با توجه به رادیکال، ایکس‌های بین ۱ و منفی ۱ نیست؟

Answer 1

سلام.

توجه شود که اولن باید $X^2->0$ یعنی $-1<X<1$.حالا به طرف چپ معادله توجه شود:

$X+ \frac{X}{ \sqrt{X^2-1} } =X(1+ \frac{1}{ \sqrt{X^2-1} } )$

داخل پرانتز همواره مثبت است.پس علامت سمت چپ معادله دقیقن علامت $X$ است.حالا چون طرف راست معادله یعنی $2 \sqrt{2} $ مثبت است پس باید طرف چپ هم مثبت باشد لذا باید $X>0$.بنابر این دامنه جوابهای معادله $0<X<1$ است.

$ \Box $