Question

معادلۀ زیر در مجموعۀ اعداد حقیقیِ مثبت چند جواب دارد؟

$$x^{\left \lfloor {x} \right \rfloor}=x+\left \lfloor {x} \right \rfloor$$

کمک سؤال: جواب عددی فرد است.

اگر فرض کنیم که: $0<x<1 \Longrightarrow [x]=0 \Longrightarrow x^0=x \Longrightarrow x=1$

اما $x=1$ در بازۀ فرض شده نمی‌باشد. پس در این بازه جواب نداریم.

اتفاق عجیب اینجاست که در این بازه جواب دارد. اگر از نرم‌افزارهای رسم نمودار کمک بگیریم.

سؤال من اینجاست که چرا نمودار نشان می‌دهد که در این بازه جواب است ولی مطلب فوق نشان می دهد که در این بازه جواب نیست؟

Comments

Elyas1@ شما از چه نرم افزاری برای رسم استفاده کردید؟ معمولاً نقاط توپر و توخالی را واضح نشان نمی دهند

---

از نرم‌افزار geogebra استفاده کردم.

---

خب عرض کردم به توپر و توخالی بودن آن نقاطی که نمودارهای دو طرف تساوی به هم برخورد می کنند توجه کنید تصویر این را نشان نمی دهد

---

ممنونم. تازه با این نرم افزار آشنا شده بودم و به این نکته دقت نکرده بودم.

---

@Elyas1 خوب می‌شد نام نرم‌افزار و کدی که برای رسم استفاده کردید را در متن پرسش می‌گذاشتید تا اگر اشتباهی داشته‌اید برایتان تصحیح کد را بگذارند یا اینکه اگر واقعا نرم‌افزار اشتباه کرده‌است قابل چک کردن و گزارش باشد.

Answer 1

از دیدگاهی که زیر دیدگاه آقای @good4us گذاشته‌اید برمی‌آید که از نرم‌افزار GeoGebra استفاده کرده‌اید. در اینجا نرم‌افزار Mathematica را امتحان می‌کنیم. دو رسم برای پیدا کردن پاسخ‌های یک تساوی به شکل $f(x)=g(x)$ رایج است. یکی اینکه نمودار $f(x)-g(x)$ را بکشیم و محل برخورد با محور $x$ها را نگاه کنیم. دیگری اینکه دو نمودار $f(x)$ و $g(x)$ را بکشیم و محل‌های برخوردشان را نگاه کنیم. کُدی که باید در نرم‌افزار Mathematica بزنید تا این دو رسم انجام شوند به همراه شکل خروجی‌شان در زیر آورده شده‌اند.

Plot[x^Floor[x] - (x + Floor[x]), {x, -1, 3}]

P1 = Plot[x^Floor[x], {x, -1, 3}, PlotStyle -> Blue];
P2 = Plot[x + Floor[x], {x, -1, 3}, PlotStyle -> Red];
Show[P1, P2]

همانگونه که می‌بینید در هیچ یک نقطهٔ برخوردی در بازهٔ باز $(0,1)$ نمی‌بینیم. تنها دو نقطهٔ ۱ و ۲ (توجه کنید که $1\not\in (0,1)$) هستند که احتمال دارد نقطهٔ برخورد باشند. با جایگذاری می‌بینید که نقطهٔ ۱ عضو نمودار نیست بلکه یک نقطهٔ حدی نمودار است، یعنی $(1,0)$ حد راستی از $f(x)-g(x)$ در $x=1$ است و نه مقدارش. پس تنها پاسخ مثبتی که با این دو ترسیم یافت شده‌است $x=2$ است.

Answer 2

به نام خدا.

یک راه دیگر برای حل این مسئله بدون کمک گرفتن از نرم‌افزار این است:

ابتدا نشان می‌دهیم که در بازه $[1,2)$ جواب نداریم:

$$1 \leq x < 2 \Longrightarrow [x]=1 \Longrightarrow x=x+1$$

از این به بعد $ x \geq 2$ در نظر گرفته می‌شود.

توجه کنید که نامساوی‌های زیر با توجه به شرایط $x$ برقرار هستند.

$$x^{[x]} \geq x^2=x\times x\geq [x]×x\geq 2x=x+x \geq x+[x]$$

خواستهٔ مسأله این است که جواب‌های $x^{[x]}=x+[x]$ را بیابیم. هنگامی که این تساوی برقرار است، $[x]×x=x+[x]$ نیز برقرار است. پس بیایید این تساوی را بررسی کنیم:

\begin{align} [x](x-1)=x &\Longrightarrow [x]= \frac{x}{x-1}\\ \end{align}

ابتدا تابع $\frac{x}{x-1}= \frac{x-1+1}{x-1}=1+ \frac{1}{x-1}$ را بررسی می کنیم. این تابع با توجه به اینکه $x \geq 2$ است، مقدار تابع در بازه $(1,2]$ می باشد. از طرفی سمت چپ تساوی عددی صحیح است. پس باید $ \frac{x}{x-1}=2$ باشد که نتیجه می دهد که $x=2$ باشد.

از آقای @pourya-azary و استاد @AmirHosein برای اینکه من را راهنمایی کردند بسیار ممنونم.

Comments

با سلام
نامساوی ای که در بالا استفاده کردید در بازه 1 تا 2 هم برقرار نیست. مگه اینکه به همون شیوه که در مورد بازه 0 تا 1 گفتید این بازه رو هم رد کنید.

---

@pourya-azary ممنون. ویرایش کردم.

---

@Elyas1 من امتیاز مثبت دادم به خاطر نابرابری میان پاسخ‌تان. ولی متنی که نوشتید چند جا پرش دارد.
۱- نماد شمارش را احتمالا به منظور شمارنده بودن در اعداد صحیح به کار برده‌اید و گر نه هر عدد حقیقی‌ای هر عدد حقیقی ناصفری را در میدان اعداد حقیقی می‌شمارد. پس در $x-1\mid x$ احتمالا منظورتان به عنوان عددهای صحیح است. اما پیش از این عبارت شما اثبات نکرده‌اید که $x-1$ و $x$ باید عدد صحیح باشند. اگر دلیل‌تان صحیح شدن تقسیم‌شان است، آنگاه $x=1.5$ را در نظر بگیرید، داریم $\frac{x}{x-1}=3$ که صحیح است، در حالیکه هیچ کدام از صورت و مخرج صحیح نبودند. بنابراین پیش از نوشتن $(x-1)\mid x$ باید به اینکه چرا صحیح هستند اشاره کنید.
۲- نقشِ $(x-1)\mid (x-1)$ در نوشته‌تان چیست؟

---

@AmirHosein من در پرسش زیر با توجه به اینکه یک سمت تساوی جزء صحیح است از همین روش استفاده کردم و شما تأیید کردید. ممنون میشوم فرقشان را بگویید.یک راه برای اینکه نشان بدهیم $x$ باید عددی صحیح باشد، به ذهنم آمد. ممنون میشوم پاسخم را پس از ویرایشی که می کنم دوباره بررسی کنید.
https://math.irancircle.com/21035

---

@Elyas1 به نظر من قسمت جدیدی که اضافه کردید (که البته هنوز چک نکردم) اضافه کاری است چون در دامنهٔ همان نامساوی خوبی که پیش‌تر نوشته‌بودید قرار می‌گیرد. من به جای شما باشم پس از اینکه به $[x]=\frac{x}{x-1}$ رسیدم به این توجه می‌کنم که تابع $\frac{x}{x-1}$ یک تابع به شکل $\frac{ax+b}{cx+d}$ است که برایمان خیلی از ویژگی‌هایش روشن است. در مورد $\frac{x}{x-1}$ با نگاه به ضابطه‌اش می‌دانیم که یک مجانب عمودی $x=1$ و یک مجانب افقی $y=1$ دارد و شکلش مانند شکل تابع همسازه $y=\frac{1}{x}$ است. در سمت راست $x=1$ بالای خط $y=1$ قرار دارد و کاهشیِ اکید (اکیدا نزولی) است. شما هم که در حال نگاه کردن به بازهٔ $x\geq 2$ هستید پس بیاییم بُرد تابع در این قسمت را ببینیم. در $x=2$ می‌شود $2$ و سپس در حال کاسته شدن و میل کردن به ۱ است. پس تنها عدد صحیحی که در برد این قسمت از تابع هست همان ۲ است که در $x=2$ اتخاذ شد. چرا فقط عددهای صحیح در بُردِ $\frac{x}{x-1}$ را نگاه کنیم؟ چون $[x]=\frac{x}{x-1}$ و $[x]$ عددی صحیح است. پس بدون نیاز به اینکه ثابت کنم $x$ صحیح است یا خیر که بعد بخواهیم از قوانین شمارش و بخش‌پذیری استفاده کنیم، با همان نامساوی و رابطهٔ پیشین‌تان کار تمام شد. در پست دیگرتان نیز چیزی که می‌بینم یک تابع به شکل مشابه دارید که برابر با جزءصحیح شده‌است. شاید بتوانید با همین شیوه آن را کامل کنید.