مساحت چهارضلعی $BDEF$ چه کسری از مساحت مثلث $ABC$ است؟

Question

در شکل زیر$ AD=DE=EC=2$ و $BF=2FC$ است، در این صورت مساحت چهارضلعی $BDEF$ چه کسری از مساحت مثلث $ABC$ است؟

Comments

اگر نسبت اضلاع مثلث$EFC$و$ABC$را بنویسیم نسبت اضلاع یک سوم است.این نشان می دهد $EF$موازی ضلع$AB$است.طبق تشابه مثلث ها ا،نسبت ارتفاع ها برابر یک سوم است. و از طرفی$ABEF$ ذوزنقه است که مساحت آن هشت نهم مثلث $ABC$است. اما هنوز نتوانستم به نتیجه دلخواه برسم.

---

متن سوال را برای شما ویرایش کردم اما عنوان سوال مناسب نیست. چه ربطی به کاربرد مساحت دیدید نمیدانم.

Answer 1

در مثلث$ABE$ پاره خط $BD$ میانه است. چون قاعده مثلث$FBE$ دو برابر مثلث$CFE$ و ارتفاع های برابر دارند پس اگر مساحت مثلث $CFE$ را $S$ فرض کنیم مساحت مثلث $FBE$ برابر $2S$ است. از آنجاییکه پاره خط $BE$ میانه مثلث$CBD$است پس مساحت مثلث $EBD$ برابر $S+2S=3S$ است و به طریق مشابه مساحت مثلث $ABD$ نیزبرابر $3S$ است.به این ترتیب :

$$\color{green}{ \frac{ S_{ \diamondsuit BDEF} }{S_{ \triangle ABC}}= \frac{2S+3S}{S+2S+3S+3S}=\frac{5S}{9S}}=\color{red}{\frac{5}{9} }$$

Comments

Amirrezakhalili@ مقدار 2 برای سه پاره خط داده شده تأثیری در جواب سوال خواسته شده مسئله ندارد.

Answer 2

طبق تصویر بالا می توان ثابت کرد مساحت سه مثلث ABD و ADE و BEC با هم برابرند.

اثبات:

$S_{ABD}=0.5AD.BG, S_{BDE}=0.5DE.BG, S_{BEC}=0.5 CE.BG$

از آنجایی که $AD=DE=EC$ نتیجه خواهیم گرفت که مساحت هر سه مثلث برابر است. ارتفاع وارد بر BC از طرف مثلث BEC را h می نامیم.

$S_3=\frac{2xh}{2}=xh, S_4=\frac{hx}{2} \Rightarrow 2S_4=S_3$

می دانیم $S_1=S_2=S_3+S_4$ و نیز $S_3=2S_4$ در نتیجه

$3S_4=S_1 \Rightarrow S_t=S_1+S_2+S_3+S_4=2S_1+\frac{S_1}{3}+\frac{2S_1}{3}=3S_1$

مساحت قسمت رنگی:

$S_k=S_2+S_3=S_1+\frac{2S_1}{3}=\frac{5S_1}{3} \Rightarrow \frac{S_k}{S_t}=\frac{\frac{5S_1}{3}}{3S_1}=\frac{5}{9}$

مساحت قسمت رنگی $\frac{5}{9}$ برابر مساحت کل شکل است.