Question

دو عدد طبيعی را زوج خوشبخت گوئیم هرگاه تعداد ارقام آن‌ها برابر و ترتيب ارقام آن‌ها کاملاً عکس يکديگر باشد (مثلا ۲۳۱ و ۱۳۲ زوج خوشبخت است). چند زوج خوشبخت سه رقمی وجود دارد که اختلاف آنها ۷ برابر عددی طبيعی است؟

Answer 1

به نام خدا.

هدف من از قرار دادن سوال های المپیاد ریاضی 99 این است که با توجه به اینکه این آزمون همین تازگی برگزار شده است، با کمک اساتید بتوانیم این مسائل را حل کنیم تا برای دانش آموزانی مانند من که برایشان هنوز جواب این پرسش ها معلوم نیست، معلوم شود.

فرض می کنیم آن دو عدد به شکل های زیر باشند:

$n_1=100a+10b+c$

$n_2=100c+10b+a$

اگر این دو عدد را از هم کم کنیم داریم:

$n_1-n_2=99a-99c \Longrightarrow 7 | a-c$

توجه شود که اختلاف دو عدد یک رقمی، یک رقمی است. پس:

$a-c=7$

در این صورت چند حالت ایجاد می شود:

1. $a=9, c=2$
2. $a=8, c=1$

3. $a=7, c=0$

   حالت ۳ نامطلوب است. برای تعیین b در هر دو حالت فوق ۱۰ حالت وجود دارد پس جواب می شود $20$