Question

اگر$f(x)=log(x+ \sqrt{x^{2} -1} ) $ باشد ثابت کنید $f(4 x^{3} -3x)=3f(x)$ ممنون میشوم کسی می‌تونه در این مورد راهنماییم کنه

Comments

Mohammad.reza77@ ضمن خوش آمد گویی به شما مقررات و تایپ ریاضی در سایت را مطالعه کنید.تلاش و راه حل خودتان را بنویسید. یک نمونه را برای شما اصلاح میکنم به آن دقت کنید

Answer 1

$$f(x)=\log(x+ \sqrt{x^{2} -1})=\log\big((x- \sqrt{x^{2} -1})^{-1}\big)=-\log(x- \sqrt{x^{2} -1})$$

حال اگر با $3f(x)$ شروع کنیم:

$$\color{blue}{ 3f(x)=-3\log(x- \sqrt{x^{2} -1})=-\log(x- \sqrt{x^{2} -1})^{3}}$$

$$=-\log(x^3-3x^2\sqrt{x^{2} -1}+3x(x^2-1)-(x^2-1)\sqrt{x^{2} -1})$$

$$=\color{green}{-\log(4x^3-3x-(4x^2-1)\sqrt{x^{2} -1})=-\log(4x^3-3x-\sqrt{(1-4x^2)(x^{2} -1)})}$$

$$=-\log(4x^3-3x-\sqrt{16x^6-24x^4+9x^2 -1})$$

$$\color{red}{=-\log(4x^3-3x-\sqrt{ (4x^3-3x)^{2} -1})=\log(4x^3-3x+\sqrt{ (4x^3-3x)^{2} -1})=f(4x^3-3x)}$$