Question

اگر $log_aN$ و $log_bN$ و $log_cN$ تشکیل دنباله حسابی بدهند ثابت کنید که $c^2$=$(ac)^{log_a⁡b}$ با عرض سلام بنده با استفاده از تعریف واسطه حسابی بین سه لگاریتم و استفاده از خواص لگاریتم به نتیجه $b^2$ رسیدم . ممنون میشوم اگر ممکنه کسی راه حل دقیق را برای بنده ارسال کند.

Answer 1

$ log_{b}^{N^2}=log_{a}^{N}+ log_{c}{N} \Rightarrow \frac{1}{log_{N^2}^{b}}=\frac{1}{log_{N}^{a}}+\frac{1}{log_{N}^{c}}= \frac{log_{N}^{ac}}{log_{N}^{a}log_{N}^{c}} \Rightarrow \frac{2}{log_{N}^{b}}=\frac{log_{N}^{ac}}{log_{N}^{a}log_{N}^{c}} $ $$\color{blue}{ \Rightarrow \frac{2log_{N}^{a}}{log_{N}^{b}}=\frac{log_{N}^{ac}}{log_{N}^{c}} \Rightarrow 2log_{b}^{a}=log_{c}^{ac} \Rightarrow log_{b}^{a}= \frac{1}{2} log_{c}^{ac}} $$

$$\Rightarrow log_{b}^{a}=log_{c^2}^{ac} \Rightarrow log_{a}^{b}=log_{ac}^{c^2}$$ $$ \Rightarrow\color{red}{(ac)^{log_{a}^{b}}=c^2} $$