Question

در شکل زیر نیم ساز زاویهB ضلع DC را در E قطع کرده مساحت ناحیه هاشور خورده چند برابر مساحت ذوزنقه ABED است ؟

Answer 1

با توجه به قضیه خطوط موازی و نیمساز بودن $BE$ مثلث $BCE$ متساوی الساقین خواهدبود و با توجه به شکل:

$$\color{red}{ \frac{ S_{ \bigtriangleup BCE} }{ S_{ \diamondsuit ABED} } =\frac{3h}{h(5+2)}= \frac{3}{7}}$$

Answer 2

سلام

طبق تصور زاویه C محاسبه می شود:

$C+2x=180 \Rightarrow C=180-2x$

حال زاویه CEB را محاسبه می کنیم:

$CED=180-(C+x)=180-(180-2x+x)=x$

پس $BC=EC$. (چون $EBC=CEB$)

$S_{BCE}=\frac{1}{2}BC^2\sin(180-2x)=\frac{9}{2}\sin(2x)$

مساحت متوازی الاضلاع

$S_{ABCD}=2 \times \frac{1}{2}AD.DC\sin(2x)=3 \times 5\sin(2x)=15\sin(2x)$

در نتیجه:

$\frac{S_{BEC}}{S_{ABCD}}=\frac{\frac{9}{2}\sin(2x)}{15\sin(2x)}=\frac{3}{10}$

پس مساحت قسمت هاشور خورده $0.3$ برابر مساحت کل شکل است.

Comments

دوست عزیز شما یک بخش سوال را فراموش کرده اید و آن هم محاسبه نسبت مساحت مثلث سایه زده شده به متوازی الاضلاع است.
شما نسبت مساحت مثلث به متوازی الاضلاع را ۳ به ۱۰ گفتید که درست است اما سوال نسبت آن را به ذوزنقه خواسته که ۳ به ۷ می شود. زیرا اگر مساحت مثلث ۳ دهم مساحت کل باشد مساحت ذوزنقه ۷ دهم مساحت کل می شود.