حاصل بینهایت بار مجموعه ی توانی گرفتن

Question

مجموعه ی اعداد طبیعی را در نظر بگیرید. $ N \bigcup \rho(N)=A ,A \bigcup \rho (A)=B,... $ و این الگو تا بینهایت ادامه پیدا کند با توجه به اصل مجموعه توانی ،وجود مجموعه ی حاصل ممکن است؟ (رو مجموعه به فرض همان مجموعه توانی است)

Answer 1

بنابه به اصل وجود مجموعه نامتناهی $N$ وجود دارد و بنا به اصل وجود مجموعه توانی $P(N)$ وجود دارد حالا بنا به استقرا ریاضی $P(P(...P(N)...))$ ($n$ پرانتز) نیز وجود دارد.

حالا بنابه اصل زوج سازی مجموعه $X_n=N,P(N),P(P(N)),...,P(P(...P(N)...))$ برای هر $n \in N$ وجود دارد.(عضو آخر $n$ پرانتز است) و بنابه اصل موضوع اجتماع مجموعه

$ \cup _{n \in N}X_n=N \cup P(N) \cup P(P(N))...$

نیز موجود است.

$ \Box $