اثبات کلا مرتب و خوشترتیب بودن یک مجموعه ی جزئا مرتب

Question

فرض کنید (A، \leq ) یک مجموعه جزئا مرتب است به قسمی که هر زیر مجموعه ی غیر تهی B شامل یک کران پایین است : یعنی b \in B وجود داردبه قسمی که برای هر x \in B ،
b \leq x

ثابت کنید که مجموعه جزئا مرتب (A، \leq ) کلا مرتب و در نتیجه خوشترتیب است.

Comments

@mohi0835 ایراد تایپی شما مربوط به این است که فرمولها ریاضی رو درون علامت دلار قرار ندادید.
برای اینکه بهتر متوجه بشید سوال قبلی رو که پرسیده بودید را ویرایش کردم.
لطفا با دقت نگاه کنید و سوالات جدید خود را ویرایش کنید.
بعد از ویرایش سوال پاسخ سوالات رو ارسال میکنم.

---

@  mohi0835 برای اینکه یک مجموعه جزئا مرتب، کلا مرتب باشه اعضای مجموعه باید چه ویژگی داشته باشند؟

---

بتوانیم اعضای آن مجموعه را با هم مقایسه کنیم؟
میشه یکم بیشتر توضیح بدین
ممنون میشم.

---

@So.he
بله. پس هر دو عضوی رو که درنظر بگیریم به عنوان یک زیر مجموعه طبق فرض با هم مقایسه می شوند.

---

برای هر دو عضو دلخواه $a$ و $b$ قرار دهید:

$A= \{a,b\}$

طبق فرض این مجموعه کوچکترین عضو داردلذا:

$a \leq b  \vee  b \leq a$

و این نشان میدهد که هر دو عضو قابل مقایسه هستن لذا مجموعه کلا مرتب است و بنا به فرض چون هر زیر مجموعه غیر تهی آن عضو ابتدا دارد لذا خوشترتیب است.

Answer 1

برای هر دو عضو دلخواه $a$ و $b$ قرار دهید:

$A= {a,b}$

طبق فرض این مجموعه کوچکترین عضو داردلذا:

$a \leq b \vee b \leq a$

و این نشان میدهد که هر دو عضو قابل مقایسه هستن لذا مجموعه کلا مرتب است و بنا به فرض چون هر زیر مجموعه غیر تهی آن عضو ابتدا دارد لذا خوشترتیب است.