چند عدد به صورت $ a_{1}a_{2}a_{3}... $ می توان ساخت که بین n و 2n باشد به شرطی که $ 0<a_{1},a_{2},a_{3},...<n+1 $

Question

فرض کنید می توانیم به جای هر کدام از مقادیر $ a_1,a_2,a_3,... $ اعداد طبیعی 1 تا n را قرار دهیم. چند عدد متمایز به صورت $ a_{1}a_{2}a_{3}... $ می توان ساخت که بین n و 2n قرار بگیرد؟

Comments

به نظر سوال نامناسبی است.
زیرا برای n های کوچکتر از 6 جواب ندارد
و برای n های بزرگتر از 9 شرط سوال معنی ندارد

---

برای n های کوچکتر 6 جواب ندارد؟! شما فرض کنید n=5 آنگاه:
$ a_{1}=2,a_{2}=3 \Rightarrow a_{1}a_{2}=6 $
یک جواب یافت شد! جواب دیگر هم به صورت زیر است:
$ a_{1}=3,a_{2}=3 \Rightarrow a_{1}a_{2}=9 $
من نمی فهمم چطور شما می گویید جوابی ندارد درحالی که 2 جواب پیدا شده است!

---

@mort در پرسش به اینکه بین $a_i$ها ضرب قرار داده‌اید اشاره نکرده‌اید. بنابراین می‌تواند به شکل این تعبیر شود که $a_i$ها در حال کنارهم قرارگرفتن هستند.

---

@AmirHosein سلام
اگر می نوشتم $ \overline{a_1a_2...} $ آنگاه حرف شما درست بود. معمولا در ریاضی ضرب بین متغیر ها حذف می شود.

Answer 1

تعداد این اعداد خواسته شده را برای هر $n \in N$ با نماد $X(n)$ نشان می دهیم.تعداد اعداد بین $n$ و $2n$ برابر است با $2n-1-(n+1)+1=n-1$.حالا از این تعداد اعداد یکی را به صورت دلخواه مانند $p$ که اول است در نظر بگیرید.چون $p=p \times 1=1 \times p$ و $p>n$ پس اعداد اول حذف می شوند.حالا یکی مانند $x$ را در نظر بگیرید که مرکب باشد یعنی:

$n<x<2n,x=ab,2 \leq a,b \Rightarrow 2b \leq ab=x<2n ,2a \leq ab=x<2n$

$\Rightarrow 2 \leq a,b<n$

این یعنی $x$ به صورت ضرب اعدای طبیعی کوچکتر از $n$ است پس $x$ مد نظر ماست.بنابراین اگر تعداد اعداد اول کمتر یا مساوی $n$ را با $ \pi (n)$ نشان دهیم داریم:

$X(n)=n-1-( \pi (2n)- \pi (n))=n+\pi (n)-\pi (2n)-1$

$ \Box $