Question

• نشان دهید که برای هر عدد طبیعی $n$ عدد $ \frac{4}{3n+2} $ می توان به صورت زیر نمایش داد $$ \frac{4}{3n+2} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b}+ \frac{1}{c} $$

اعداد $a,b$ و $c$ طبیعی متمایزهستند

Answer 1

بنام خدا.هرعدد بشکل $ \frac{4}{3n+2} $ مخرج کسر بزرگتراز صورت آن می باشدبنابراین کسر کوچکتراز عدد یک می باشد ومی توان بشکل زیر نوشت:

$$ \frac{4}{3n+2} =1- \frac{3n-2}{3n+2} =1- \frac{3n-1-1}{3n+2} =1+ \frac{1}{3n+2} - \frac{3n-1}{3n+2} $$

$$=1+ \frac{1}{3n+2}-( \frac{4n}{3n+2} - \frac{n+1}{3n+2} )=1+ \frac{1}{3n+2} + \frac{n+1}{3n+2} - \frac{4n}{3n+2} $$

$$ \frac{4}{3n+2} + \frac{4n}{3n+2} =1+ \frac{1}{3n+2} + \frac{n+1}{3n+2} $$

$$ \frac{4(n+1)}{3n+2} =1+ \frac{1}{3n+2} + \frac{n+1}{3n+2} $$

حال اگر دو طرف معادله را بر n+1 تقسیم کنیم داریم:

$$ \frac{4}{3n+2} = \frac{1}{n+1} + \frac{1}{(n+1)(3n+2)} + \frac{1}{3n+2} $$

همانطور که می بینید صورت کسرها عدد یک ومخرج کسرها سه عدد طبیعی متمایز است. مثال اگرn=3 باشد داریم:

$$ \frac{4}{11} = \frac{1}{4} + \frac{1}{44} + \frac{1}{11}= \frac{16}{44} = \frac{4}{11} $$