Question

ثابت کنید که «هر عدد طبیعی به‌جز توان‌های 2 را می‌توان به‌صورت مجموع چند عدد متوالی نوشت».

مثال:

$$10 = 1+2+3+4$$ $$6 = 1+2+3$$ $$3 = 1+2$$

Answer 1

ابتدا ثابت می‌کنیم که توان‌های ۲ را نمی‌توان به این صورت نوشت. فرض کنید داشته باشیم: $$m+(m+1)+...+(m+n-1) = k,m \geq 1,n \geq 2,k \geq 2$$ $$ \Longrightarrow mn+(1+2+...+(n-1))=k$$ $$\Longrightarrow mn+ \frac{n(n-1)}{2}=k$$ $$\Longrightarrow \frac{n(2m+n-1)}{2}=k $$ $$\Longrightarrow n(2m+n-1) = 2k \tag1$$ اما از بین $n$ و $2m+n-1$ قطعاً یکی فرد است؛ بنابراین باید سمت راست تساوی عاملی فرد داشته باشد و بنابراین $k$ نمی‌تواند توانی از دو باشد. حال فرض کنید $k$ توانی از دو نیست؛ بنابراین می‌توان آن را به صورت $k=2^ts$ نمایش داد که در آن s عددی فرد و بزرگ‌تر از ۱ است. بنابر (۱) داریم: $$n(2m+n-1) =2k = 2^{t+1}s$$ اکنون ۲ حالت داریم:

1. $s \geq 2^{t+1}$:

در این حالت کافی است قرار دهیم $n=2^{t+1}$ و از آنجا داریم: $$2m+n-1=s \Longrightarrow m = \frac{s-n+1}{2}= \frac{s-2^{t+1}+1}{2} $$ که صورت سمت راست عددی زوج و مثبت است. بنابراین $m$ نیز طبیعی است. پس یک جواب پیدا شد.

2. :$s \leq 2^{t+1}$

در این حالت قرار می‌دهیم $n=s$ و از آنجا داریم: $$2m+n-1 = 2^{t+1} \Longrightarrow m=\frac{2^{t+1}-n+1}{2}= \frac{2^{t+1}-s+1}{2} $$ در این حالت نیز صورت عبارت سمت راست عددی زوج و مثبت است. بنابراین $m$ نیز طبیعی است. پس در این حالت نیز یک جواب پیدا شد.

Comments

خیلی ممنون از پاسخ کاملتون فقط میشه بگین چرا آخرش دو حالت در نظر گرفتین ؟؟
ممنون.

---

@mahdilotfi به نوعی مجبوره! چون اگر تفکیک انجام نمی داد اونوقت سمت راست تساوی ای که تو حالت اول نتیجه داده عددی منفی می شد.