ابتدا ثابت میکنیم که توانهای ۲ را نمیتوان به این صورت نوشت. فرض کنید داشته باشیم:
$$m+(m+1)+...+(m+n-1) = k,m \geq 1,n \geq 2,k \geq 2$$
$$ \Longrightarrow mn+(1+2+...+(n-1))=k$$
$$\Longrightarrow mn+ \frac{n(n-1)}{2}=k$$
$$\Longrightarrow \frac{n(2m+n-1)}{2}=k $$
$$\Longrightarrow n(2m+n-1) = 2k \tag1$$
اما از بین $n$ و $2m+n-1$ قطعاً یکی فرد است؛ بنابراین باید سمت راست تساوی عاملی فرد داشته باشد و بنابراین $k$ نمیتواند توانی از دو باشد. حال فرض کنید $k$ توانی از دو نیست؛ بنابراین میتوان آن را به صورت $k=2^ts$ نمایش داد که در آن s عددی فرد و بزرگتر از ۱ است. بنابر (۱) داریم:
$$n(2m+n-1) =2k = 2^{t+1}s$$
اکنون ۲ حالت داریم:
- $s \geq 2^{t+1}$:
در این حالت کافی است قرار دهیم $n=2^{t+1}$ و از آنجا داریم:
$$2m+n-1=s \Longrightarrow m = \frac{s-n+1}{2}= \frac{s-2^{t+1}+1}{2} $$
که صورت سمت راست عددی زوج و مثبت است. بنابراین $m$ نیز طبیعی است. پس یک جواب پیدا شد.
- :$s \leq 2^{t+1}$
در این حالت قرار میدهیم $n=s$ و از آنجا داریم:
$$2m+n-1 = 2^{t+1} \Longrightarrow m=\frac{2^{t+1}-n+1}{2}= \frac{2^{t+1}-s+1}{2} $$
در این حالت نیز صورت عبارت سمت راست عددی زوج و مثبت است. بنابراین $m$ نیز طبیعی است. پس در این حالت نیز یک جواب پیدا شد.
