Question

الف)تعداد راه‌هایی که بتوان عدد ۵۰۰ را به صورت مجموع ارقام متوالی نوشت را بیابید. ب)تعداد چنین نمایش ها را برای عدد $$N= 2^{ \alpha } 3^{ \beta } 5^{ \gamma } $$ را بیابید. آلفا، بتا و گاما اعداد طبیعی اند.

Answer 1

فرض کنیم عدد ابتدایی برابر با $a _{1} $ باشد؛ داریم:

$ \sum a_{i} $=500

چون دنباله یک دنباله حسابی است؛ طبق رابطه مجموع اعضای دنباله حسابی داریم:

$ \frac{n}{2}( a_{1}+a_{n})=500 \Longrightarrow n(2 a_{1}+n-1)=۱۰۰۰ $

کافی است تا مقسوم علیه های مختلف ۱۰۰۰ را به جای n قرار دهیم تا به ازای هر کدام عدد ابتدایی نیز پیدا شود.

Answer 2

فرض کنید که :

$n+(n+1)+...+(n+m)=500,n \in N,m \in W$

$[1+2+...+(n-1)+n+(n+1)+...+(n+m)]-(1+2+...+(n-1)]=500$

$ \frac{(n+m)(n+m+1)}{2} - \frac{n(n-1)}{2} =500 \Rightarrow (n+m)(n+m+1)-n(n-1)=1000$

$ \Rightarrow n^2+nm+n+mn+m^2+m-n^2+n=1000$

$m^2+2mn+2n+m=1000 \Rightarrow m^2+2mn+2n+m=1000$

$m(m+1)+2n(m+1)=1000 \Rightarrow (m+1)(m+2n)=1000$

واضح است که:

$m+2n \geq m+1 , 1000=2^3 \times 5^3 $

$ \Rightarrow (m+1,m+2n )=(2^ \alpha 5^ \beta ,2^{3- \alpha }5^{3- \beta });0 \leq \alpha , \beta \leq 3, \leq 2^ \alpha 5^ \beta \leq 2^{3- \alpha }5^{3- \beta }$

همچنین باید:

$2n-1=(m+2n)-(m+1)=2^{3- \alpha }5^{3- \beta }-2^ \alpha 5^ \beta $

یعنی دو طرف تساوی فرد است.پس باید $3- \alpha =0$ یا $ \alpha =0$ (چرا؟)

$if: \alpha =0 \Rightarrow \beta =0 \vee 2(?)$

$if: \alpha =3 \Rightarrow \beta =0(?)$

پس سه جواب داریم و $3=2^03^15^0$ :

$( \alpha , \beta )=(0,0) \vee (0,2) \vee (3,0) \Rightarrow (m.n)=(0,500) \vee (24,8) \vee (7,59)$

$500=500 \vee 8+9+...32=500 \vee 59+60+...+66=500$

$ \Box $

توجه: در استدلال من مجموع اعداد طبیعی مد نطر است.