$$ sinx=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-.... $$
از طرفی ریشه معادله $sinx=0$ برابر است با
$$ x=k\pi \quad k=0,1,-1,2,-2,3,-3,... $$
بنابراین
\begin{align}
sinx&=x(1-\frac{x}{\pi})(1+\frac{x}
{\pi})(1-\frac{x}{2\pi})(1+\frac{x}{2\pi})
(1-\frac{x}{3\pi})(1+\frac{x}{\pi})....\
&=x-(\frac{1}{\pi^2}+\frac{1}{4\pi^2}+\frac{1}{9\pi^2}+...)x^3+.........
\end{align}
حال ضرایب $x^3$ را مساوی قرار می دهیم
$$ \frac{1}{\pi^2}+\frac{1}{4\pi^2}+\frac{1}{9\pi^2}+...=\frac{1}{6}\Rightarrow
\frac{1}{1}+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+...=\frac{\pi^2}{6}
$$
