به نام خدا.
فرض کنید
$ 0 < a , b < \frac{π}{2} $
باشد. پس:
$ - \frac{π}{2} < - a<0 \Longrightarrow \frac{π}{2} < π - a < π$
$ - \frac{π}{2} < - b < 0 \Longrightarrow \frac{π}{2} < π - b < π$
هدف چیست؟ هدف این است که نشان دهیم دو رابطه ای که در سوال نوشتید، برای زمانی که $a , b$ حداقل یکی تند نیست نیز برقرار است.
حال می توان نوشت:
$cos(a + π - b) = cos(π + (a - b))= - cos(a - b) = - (cos(a) cos(b) + sin(a) sin(b)) = - ( - cos(a) cos(π - b) + sin(a) sin(π-b)) = cos(a) cos(π - b) - sin(a) sin(π - b) $
و برای رابطه دیگر نیز:
$sin(a + π - b) = sin(π + (a - b) ) = - sin(a - b) = - (sin(a) cos(b) - cos(a) sin(b)) = - ( - sin(a) cos(π - b) - cos(a) sin(π - b)) = sin(a) cos(π - b) + cos(a) sin(π - b)$
یعنی برای زمانی که یکی از زاویه های بین
$ \frac{π}{2} $
و $π$ هست نیز برقرار است.
حال نشان می دهیم برای زمانی که هر دو تند نیستن هم نیز برقرار است:
$cos(π - a + π - b)=cos(2π - (a + b))=cos(a + b)=cos(a) cos(b) - sin(a) sin(b) = cos(π - a) cos(π - b) - sin(π - a) sin(π - b)$
و
$sin(π - a + π - b) = sin(2π - (a + b))= -sin(a + b) = - (sin(a) cos(b) + cos(a)sin(b)) = - ( - sin(π - a) cos(π - b) - cos(π - a) sin(π - b)) = sin(π - a) cos(π - b) + cos(π - a) sin(π - b)$
برای زاویه های دیگر به طور مشابه.
