اثبات روابط مثلثاتی مجموع زوایا

Question

در کتاب‌ها معمولاً برای اثبات روابط مثلثاتی مجموع زوایا مانند:

$$\cos(a+B)=\cos(a)\cos(B)-\sin(a)\sin(B)$$

$$\sin(a+B)=\sin(a)\cos(B)+\cos(a)\sin(B)$$

دو زاویه $A$ و $B$ را تند در نظر می‌گیرند و با اثبات این روابط برای آن‌ها (به روش‌هایی مانند تصویر) می‌نویسند با استفاده از خواص توابع مثلثاتی می‌شود نشان داد این روابط برای همۀ زوایا برقرار است؛می‌شه بگید منظور از خواص توابع مثلثاتی چیه و چطور این روابط رو به هر دو زاویۀ دلخواهی تعمیم می‌دهند؟ البته روش‌های دیگری برای اثبات وجود دارد که بدون تند در نظر گرفتن زوایا این روابط اثبات می شوند ولی می‌خواستم ببینم در این نوع اثبات‌ها چطور این تعمیم انجام می‌شود.

Comments

MaryamRezaee@لطفا منظورتان  را واضح تر بیان کنید.دنبال چه چیز خاصی هستید .

Answer 1

به نام خدا.

فرض کنید $ 0 < a‌ , b < \frac{π}{2} $ باشد. پس:

$ - \frac{π}{2} < - a< 0 \Longrightarrow \frac{π}{2} < π - a < π$

$ - \frac{π}{2} < - b < 0 \Longrightarrow \frac{π}{2} < π - b < π$

هدف چیست؟ هدف این است که نشان دهیم دو رابطه ای که در سوال نوشتید، برای زمانی که $a , b$ حداقل یکی تند نیست نیز برقرار است.

حال می توان نوشت:

$cos(a + π - b) = cos(π + (a - b))= - cos(a - b) = - (cos(a) cos(b) + sin(a) sin(b)) = - ( - cos(a) cos(π - b) + sin(a) sin(π-b)) = cos(a) cos(π - b) - sin(a) sin(π - b) $

و برای رابطه دیگر نیز:

$sin(a + π - b) = sin(π + (a - b) ) = - sin(a - b) = - (sin(a) cos(b) - cos(a) sin(b)) = - ( - sin(a) cos(π - b) - cos(a) sin(π - b)) = sin(a) cos(π - b) + cos(a) sin(π - b)$

یعنی برای زمانی که یکی از زاویه های بین $ \frac{π}{2} $ و $π$ هست نیز برقرار است.

حال نشان می دهیم برای زمانی که هر دو تند نیستن هم نیز برقرار است:

$cos(π - a + π - b)=cos(2π - (a + b))=cos(a + b)=cos(a) cos(b) - sin(a) sin(b) = cos(π - a) cos(π - b) - sin(π - a) sin(π - b)$

و

$sin(π - a + π - b) = sin(2π - (a + b))= -sin(a + b) = - (sin(a) cos(b) + cos(a)sin(b)) = - ( - sin(π - a) cos(π - b) - cos(π - a) sin(π - b)) = sin(π - a) cos(π - b) + cos(π - a) sin(π - b)$

برای زاویه های دیگر به طور مشابه.