هر دو خطی در فضا دارای یکی از این 3 وضعیت هستند :
1 - همدیگر را در یک نقطه قطع می کنند .
2 - موازی هستند .
3- متنافر هستند .
در 2 حالت 1 و 2 دو خط حتما بر روی یک صفحه قرار دارند ولی در حالت سوم دو خط بر روی یک صفحه قرار ندارند که می گوییم دو خط متنافر هستند . ابتدا بررسی میکنیم که دو خط داده شده در سوال در حالت 1 قرار دارند یا خیر . برای این کار معادله یکی از خطوط را مثلا معادله خط اول را مستقل از پارامتر $t$ می نویسم . برای این کار کافی است متغیر $t$ را بر حسب متغیرهای $x$ و $y$ و $z$ بنویسیم :
$x=2t-1$ $ \Rightarrow $ $t= \frac{x+1}{2} $
$y=-t $ $ \Rightarrow $ $t=-y$
$z=t-2 $ $ \Rightarrow $ $t=z+2$
پس معادله استاندارد خط اول مستقل از پارامتر $t$ به صورت زیر است :
$ \frac{x+1}{2} = -y = z+2$ $ \clubsuit $
حال معادلات پارامتری خط دوم را به جای $x$ و $y$ و $z$ در معادله $ \clubsuit $ قرار می دهیم :
$ \frac{t+1}{2} = -2t = 3t+2$
از تساوی $\frac{t+1}{2} = -2t $ نتیجه می شود $t= \frac{-1}{5} $ . و از تسای $ -2t = 3t+2$ نتیجه می شود $t= \frac{-2}{5}$ . تفاوت این دو مقدار نشان می دهد که دو خط در حالت 1 قرار ندارند یعنی همدیگر را در یک نقطه قطع نمی کنند . حال حالت دوم را بررسی میکنیم . برای این کار ابتدا بردار هادی دو خط را بدست می آوریم . بردار هادی خط اول بردار $ \vec{u}=(2,-1,1) $ و بردار هادی خط دوم بردار $ \vec{v}= (1,2,3) $ است . شرط لازم و کافی برای موازی بودن دو خط این است که بردارهای هادی دو خط موازی باشد و شرط لازم و کافی برای موازی بودن دو بردار این است که ضرب خارجی دو بردار برابر بردار صفر شود . پس ضرب خارجی دو بردار $\vec{u}$ و $\vec{v}$ را بدست می آوریم :
$\vec{u} \times \vec{v}$= $(-5,-5,5)$
میبینیم که ضرب خارجی دو بردار برابر بردار صفر نشد . پس دو خط موازی نیستند پس در حالت 3 قرار دارند یعنی متنافر هستند . پس دو خط بر روی یک صفحه قرار ندارند .
