به نام خدا.
ابتدا میانگین داده های $x_1,x_2,...x_n$ را محاسبه می کنیم:
$ \overline{x} = \frac{x_1+x_2+...+x_n}{n} \Longrightarrow n \overline{x} =x_1+x_2+...+x_n$
حال اختلاف میانگین با هر داده را می نویسیم و سپس با هم جمع می کنیم:
$\overline{x} -x_1+ \overline{x}-x_2+...+ \overline{x} -x_n=n \overline{x} -(x_1+x_2+..+x_n)=0$
فرض کنید $x_1,x_2...,x_j$ از میانگین داده ها کوچکتر و $x_{j+1},...,x_n$ از میانگین بزرگتر باشند. توجه کنید که برای هر $1 \leq i \leq j$ مقدار $ \overline{x} -x_i$
عددی مثبت و برای $j+1 \leq i \leq n$ عددی منفی است. پس با توجه به بالا داریم:
$ \overline{x} -x_1 + \overline{x} -x_2+...+ \overline{x} -x_j=-( \overline{x}-x_{j+1}+...+ \overline{x} -x_n)=x_{j+1}- \overline{x} +...+x_n- \overline{x} $
