پس دو عدد نسبت به هم اول $m$ و $n$ در نظر بگیرید. مجموعهٔ شمارندههای آنها را به ترتیب با $A$ و $B$ نمایش دهید. اکنون مجموعهٔ شمارندههای عدد $mn$ را با $C$ نمایش دهید. به ازای هر $a\in A$ و $b\in B$ داریم که $ab\mid mn$ (خوانده میشود $ab$ عدد $mn$ را میشمارد). پس مجموعهٔ $\lbrace ab\mid a\in A,b\in B\rbrace$ زیرمجموعهای از مجموعهٔ $C$ است. توجه کنید که علامت $\mid$ در مجموعهٔ بالا خوانده میشود «به طوری که» با علامت شمردن اشتباه نشود. اینک $c\in C$ را دلخواه بگیرید و قرار دهید $d=(c,m)$ یعنی ب.م.م. -ِ $c$ و $m$، در اینصورت باید $d\mid m$ و از طرفی چون $(m,n)=1$ و $d$ شمارندهای از $m$ است پس $(d,n)=1$ نیز برقرار است (میتوانید با یک برهان خلف ساده آن را ثابت کنید). چون $d$ ب.م.م. است پس شمارندهٔ هر دوی $m$ و $c$ است و نه فقط $m$. در نتیجه $\frac{c}{d}$ یک عدد طبیعی میشود، آن را $d'$ بنامید. اکنون داریم
$$
c\mid mn\Longrightarrow dd'\mid mn\overset{(d,n)=1}{\Longrightarrow}d'\mid mn
$$
اما از طرفی $d=(m,c)$ پس هر چه عامل مشترک از $m$ در $c$ بودهاست با بخش کردن $c$ بر $d$ حذف شدهاست پس $(d',m)=1$ نیز برقرار است.
$$d'\mid mn\overset{(d',m)=1}{\Longrightarrow}d'\mid n$$
پس چیزی که میبینیم این است که $c$ به شکل یکتای $dd'$ نوشته میشود که $d\mid m$ و $d'\mid n$. یکتا بودن آن به خاطر یکتا بودن ب.م.م. و یکتا بودن خارجقسمت تقسیم است بعلاوهٔ اینکه اگر دو عدد دیگر که یکی $m$ را بشمارد و دیگری $n$ را بشمارد ولی اولی ب.م.م. $c$ و $m$ نباشد بتوان یافت که حاصلضربشان $c$ شود آنگاه باید عاملی از $m$ باشد که $n$ را بشمارد که تناقض با $(m,n)=1$ میسازد. پس ثابت کردیم که رابطهٔ زیرمجموعهبودن بالا در واقع تساوی است. اکنون برمیگردیم به پرسش اصلی شما.
$$\sigma(m)\sigma(n)=(\sum_{a\in A}a)(\sum_{b\in B}b)=\sum_{a\in A,b\in B}ab=\sum_{c\in C}c=\sigma(mn)$$
