مربع یک عدد صحیح، در حالتی که بر $7$ بخشپذیر نباشد، در تقسیم بر آن باقیمانده ای مساوی $1$، $2$ یا $4$ می دهد. این موضوع را چگونه می توان اثبات کرد؟

Question

با سلام خدمت تمام کاربران و اساتید محترم سایت محفل ریاضی ایرانیان

مربع یک عدد صحیح، در حالتی که بر $7$ بخش‌پذیر نباشد، در تقسیم بر آن باقیمانده‌ای مساوی $1$، $2$ یا $4$ می‌دهد.

این موضوع را چگونه می توان اثبات کرد؟

تلاش انجام‌شده: مربع یک عدد صحیح تقسیم بر $7$ را می‌توان به‌شکل $ \frac{n^2}{7} $ نوشت. سعی‌کردم روی این عبارت کارهایی انجام‌دهم تا بتوانم اثبات را انجام‌دهم؛ اما به‌نتیجه‌ای نرسیدم.

Answer 1

به نام خدا.

این راه را من از آقای @AmirHosein در یکی از پرسش‌هایم آموختم‌.

عدد $n$ باقیمانده‌اش بر $7$ باید یکی از اعداد $1,2,\dots,6$ باشد. پس عدد $n^2$ باقیمانده‌اش بر $7$ می‌شود:

$n \equiv 1(\text{mod}7) \Longrightarrow n^2 \equiv 1 (\text{mod}7)$

$n \equiv 2(\text{mod}7) \Longrightarrow n^2 \equiv 4(\text{mod}7)$

$n \equiv 3(\text{mod}7) \Longrightarrow n^2 \equiv 2(\text{mod}7)$

$n \equiv 4(\text{mod}7) \Longrightarrow n^2 \equiv 2(\text{mod}7)$

$n \equiv 5(\text{mod}7) \Longrightarrow n^2 \equiv 4(\text{mod}7)$

$n \equiv 6(\text{mod}7) \Longrightarrow n^2 \equiv 1(\text{mod}7)$

Comments

@AmirHosein و @Elyas1 بسیار متشکرم. اما من یک چیزی را متوجه نمی‌شوم، مثلاً $n\overset{7}{\equiv}3$ است، حالا چگونه باید متوجه شویم که اگر $n$، $n^2$ باشد، $n^2\overset{7}{\equiv}2$ است؟

---

@Am.s متوجه منظورتان نمی شوم.

---

@Am.s به جای $n$ در رابطه $n^2$ نگذاشته‌ایم، بلکه دو طرف رابطه را به توان دو رسانده‌ایم. ۹ به پیمانهٔ ۷ برابر ۲ می‌شود.