به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+2 امتیاز
281 بازدید
در دبیرستان توسط Elyas1 (4,213 امتیاز)
ویرایش شده توسط Elyas1

در شکل زیر $ABCD$ متوازی الاضلاع می باشد. مساحت مثلث$CFE$ برابر با $9$ و چهار ضلعی $ADEF$ برابر با $11$ است. نسبت $CE$ به $DE$ را بیابید.

توضیحات تصویر

تلاش انجام شده: از $A$ به $E$ وصل کردم. واضح است که مساحت دو مثلث $AEF$ و $BCF$ برابر است. مساحت این دو مثلث را $S$ فرض می کنیم. ارتفاع وارد بر $CD$ از $A$ را $h_1$ و ارتفاع وارد بر $CD$ از $F$ را $h_2$ و $DE$ را $x$ و $CE$ را $y$ می نامیم. مساحت مثلث $ABF$ برابر $20-S$ می باشد. حال داریم:

$S=11- \frac{h_1x}{2} \Longrightarrow h_1x=22-2S$

$h_2y=18$

با توجه به دو تساوی بالا داریم:

$20-S=\frac{(h_1-h_2)(x+y)}{2} = \frac{h_1x-h_2x+h_1y-h_2y}{2} =12-S+ \frac{h_1y-h_2x}{2} \Longrightarrow 36=h_1y-h_2x \Longrightarrow h_1y- \frac{18x}{y} =36 \Longrightarrow \frac{x}{y} = \frac{h_1}{h_2} -2$

تمام روابطی که بدست آوردم:

$h_1x=22-2S$

$S= \frac{h_1y}{2} -9$

$h_2y=18$

$h_1(x+y)=40$

$\frac{x}{y} = \frac{h_1}{h_2} -2$

1 پاسخ

+1 امتیاز
توسط mdardah (1,614 امتیاز)
ویرایش شده توسط AmirHosein
 
بهترین پاسخ

بنام خدا. طبق شکل داریم:

توضیحات تصویر

دو مثلث FBA و FEC به حالت دو زاویه متشابهند در راس F متقابل به راس و زاویه‌های $A$ و $C$ متبادل داخلی. اگر مساحت مثلث FBA را S و مساحت مثلث FEC را $S'$ نشان دهیم باتوجه به اینکه نسبت مساحت دو مثلث متشابه با مجذور نسبت تشابه برابر است خواهیم داشت؛

\begin{align} & \frac{S}{ S' } = \frac{ a^{2} }{ x^{2} } \Rightarrow \frac{a(h- h' )}{9} = \frac{ a^{2} }{x ^{2} }\\ & \frac{ah-a h' }{9' } = \frac{ a^{2} }{x ^{2} } \Rightarrow \frac{40-a h' }{9} =\frac{ a^{2} }{x ^{2} } \end{align}

مساحت متوازی الاضلاع دو برابر مساحت مثلث ADC می‌باشد و

$$ x h' =18\Rightarrow h' = \frac{18}{x} $$

اگراین مقدار را در معادله بالا جایگذاری و سپس معادله را طرفین وسطین کنیم داریم:

\begin{align} & \frac{40- \frac{18a}{x} }{9} = \frac{ a^{2} }{ x^{2} } \Rightarrow 40 x^{2}-18ax-9 a^{2} =0\\ & x= \frac{9a \pm \sqrt{81 a^{2}+360 a^{2} } }{40} = \frac{3a}{4} \end{align}

جواب منفی غیرقابل قبول است چون اندازه یک پاره‌خط همیشه مثبت است. همچنین مجموع X وY مساوی a می‌باشد یعنی $Y= \frac{a}{4} $ در نتیجه داریم:

$$\frac{X}{Y} = \frac{CE}{DE} = \frac{ \frac{3a}{4} }{ \frac{a}{4} } =\frac{3}{1}=3$$

حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...