Question

پرش (gap) در استدلال به چه معناست؟ آیا به معنی مشکل دار بودن استدلال است یا به معنی کامل نبودن استدلال؟

Answer 1

یک نوشته که برای اثبات مطلبی دارای gap باشد یعنی در سلسله مراحلِ اثباتش از گزاره‌ای بدون اینکه پلِ ارتباطیِ منطقی‌ای ایجاد کند به گزارهٔ دیگری پریده‌باشد. این کار گاها سهوا و گاها عمدا انجام می‌شود و حتی چند بار توسط ریاضی‌دان‌های نامی‌ای رخ داده‌است. برای نمونه آقای Daniel Lazard که یک ریاضی‌دان نامی (مشهور) فرانسوی در هندسهٔ جبری محاسباتی است (ایشان استاد راهنمای آقای امیر هاشمی که فکر کنم اکنون هیئت علمی دانشگاهی در اصفهان باشند نیز بوده‌اند) در سال ۱۹۹۴ یک projection برای CAD ارائه می‌کند که خیلی هم مفید است ولی در اثباتشان پرش داشته‌اند (سهوا) که بعد از چاپ مقاله، دو ریاضی‌دان فعال دیگر در هندسهٔ جبری محاسباتی و CAD به نام‌های George Collins و Christopher Brown به ترتیب در سال‌های ۱۹۹۸ و ۲۰۰۱ این پرش را پیدا و رسما گزارش می‌کنند. برای مدتی این مطلب کنار گذاشته می‌شود تا اینکه در سال ۲۰۱۶ آقای Scott McCallum که یک ریاضی‌دان استرالیایی در زمینهٔ CAD است پرشِ اثبات را برطرف می‌کند و اثبات کامل می‌شود. می‌توانید به مقالهٔ آقای McCallum در این پیوند نگاه کنید (https://doi.org/10.1016/j.jsc.2015.02.001)، به ویژه پاراگراف دوم از بخش درآمد (مقدمه). می‌توانید به جملهٔ However a gap in one of the key supporting results ... توجه کنید.

به هر حال، از اینکه یک نوشته دارای پرش است نمی‌توان به تنهایی نتیجه گرفت که آیا این پرش قابل رفع است و صرفا اثبات ناقص آورده‌شده‌است یا اینکه اصلا گزارهٔ دوم به هیچ وجه از گزارهٔ یکُم نتیجه نمی‌شود و اثبات کلا اشتباه است. در هر دو حالتِ اشاره شده، اثبات به همان شکلِ آمده با پرش، پذیرفته نخواهدشد. اگر واقعا اثبات ناقص بوده‌است، باید بخش مفقودشدهٔ جورچین (پازل) اضافه شود تا جملهٔ «اثبات ناقص بوده ولی نااشتباه» ثابت شود.