به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی

محفل ریاضی ایرانیان یک سایت پرسش و پاسخ برای تمامی کسانی است که ریاضی می خوانند. دانش آموزان، دانشجویان و اساتید ریاضی اینجا هستند. به ما ملحق شوید:

عضویت

هر سوال ریاضی که دارید می توانید بپرسید

سوال بپرسید

می توانید به سوالات پاسخ دهید

سوالات

امتیاز بگیرید و به دیگران امتیاز دهید

بدون پاسخ

Visanil
+1 امتیاز
560 بازدید
در دبیرستان توسط Kimish (6 امتیاز)
ویرایش شده توسط AmirHosein

یک مجموعه شامل پنج عدد داریم. جمع عددهای داخل هر زیرمجموعهٔ سه‌عضوی‌اش را در نظر بگیرید. همهٔ این جمع‌ها را جمع کنید. آیا فرمولی برای این عدد وجود دارد؟ برای نمونه اگر مجموعهٔ \lbrace 1,2,3,4,5\rbrace را به ما بدهند، حاصل‌جمعِ حاصل‌جمع‌های اعضای همهٔ زیرمجموعه‌های سه‌عضوی‌اش چند می‌شود؟

توسط rafig256 (651 امتیاز)
+1
@kimish منظورتون تعداد زیر مجموعه هست یا حاصلجمع اعضای مجموعه ها؟
توسط محمدامین111 (37 امتیاز)
ویرایش شده توسط AmirHosein
–1
ما برای یک مجموعه با کاردینالیته (تعداد افراد آن مجموعه) 5, 60 زیر مجموعه با کاردینالیته3 داریم.,
فلذا به نظر بنده حقیر راه حل کلی ای برای جمع کردن همه اعضای این 60 مجموعه ی 3 عضوی نمی تواند وجود داشته باشد و بایستی به صورت تجربی محاسبه گردد... .

1 پاسخ

+3 امتیاز
توسط AmirHosein (19,676 امتیاز)

هر یک از پنج عدد دقیقا در \binom{5-1}{3-1}=\binom{4}{2}=6 تا از زیرمجموعه‌های سه‌عضوی مجموعه‌تان حضور خواهد داشت پس در ۶ جمع خواهد بود. در نتیجه در جمعِ کلی آخر، هر عدد ۶ بار جمع می‌شود. این یعنی اینکه حاصلِ نهایی برابر است با جمع شش‌برابر تک‌تک اعضای مجموعهٔ اولیه می‌شود که با یک فاکتورگیری ساده برابر است با ۶ برابر جمع اعضای اولیه. پس اگر مجموعه‌تان \lbrace a_1,a_2,a_3,a_4,a_5\rbrace بوده‌باشد، آنگاه حاصل نهایی 6(a_1+a_2+a_3+a_4+a_5) می‌شود. و نیازی هم نیست که a_iها عددهای پشت‌سرهم (متوالی) یا حتی طبیعی باشند. به هر حال برای مثالی هم که آوردید توجه کنید که 1+2+\dots+n=\frac{n(n+1)}{2}. پس حاصل نهایی برابر با 6(\frac{5(5+1)}{2})=90 است.

...