آیا فرمولی کلی برای جمع مجموع اعضای زیرمجموعه های یک مجموعه که شامل پنج عدد طبیعی است وجود دارد؟

Question

یک مجموعه شامل پنج عدد داریم. جمع عددهای داخل هر زیرمجموعهٔ سه‌عضوی‌اش را در نظر بگیرید. همهٔ این جمع‌ها را جمع کنید. آیا فرمولی برای این عدد وجود دارد؟ برای نمونه اگر مجموعهٔ $\lbrace 1,2,3,4,5\rbrace$ را به ما بدهند، حاصل‌جمعِ حاصل‌جمع‌های اعضای همهٔ زیرمجموعه‌های سه‌عضوی‌اش چند می‌شود؟

Comments

@kimish منظورتون تعداد زیر مجموعه هست یا حاصلجمع اعضای مجموعه ها؟

---

ما برای یک مجموعه با کاردینالیته (تعداد افراد آن مجموعه) 5, 60 زیر مجموعه با کاردینالیته3 داریم.,
فلذا به نظر بنده حقیر راه حل کلی ای برای جمع کردن همه اعضای این 60 مجموعه ی 3 عضوی نمی تواند وجود داشته باشد و بایستی به صورت تجربی محاسبه گردد... .

Answer 1

هر یک از پنج عدد دقیقا در $\binom{5-1}{3-1}=\binom{4}{2}=6$ تا از زیرمجموعه‌های سه‌عضوی مجموعه‌تان حضور خواهد داشت پس در ۶ جمع خواهد بود. در نتیجه در جمعِ کلی آخر، هر عدد ۶ بار جمع می‌شود. این یعنی اینکه حاصلِ نهایی برابر است با جمع شش‌برابر تک‌تک اعضای مجموعهٔ اولیه می‌شود که با یک فاکتورگیری ساده برابر است با ۶ برابر جمع اعضای اولیه. پس اگر مجموعه‌تان $\lbrace a_1,a_2,a_3,a_4,a_5\rbrace$ بوده‌باشد، آنگاه حاصل نهایی $6(a_1+a_2+a_3+a_4+a_5)$ می‌شود. و نیازی هم نیست که $a_i$ها عددهای پشت‌سرهم (متوالی) یا حتی طبیعی باشند. به هر حال برای مثالی هم که آوردید توجه کنید که $1+2+\dots+n=\frac{n(n+1)}{2}$. پس حاصل نهایی برابر با $6(\frac{5(5+1)}{2})=90$ است.