با درود مجدد به دوستان عزیز. قصد داشتم اثبات جبری خود را بصورت بلاگ دراختیار دوستان قرار دهم ولی چون مرجع معتبری در تأیید یافته هایم پیدا نکردم و بهیچوجه مایل نیستم اطلاعات بدون مرجع بدوستان عرضه کنم، آنها را بصورت پاسخ در معرض قضاوت دوستان و استادان عزیز قرار میدهم. امید است مفید واقع شود.
ابتدا باید دو قانون زیر را بخاطر بسپاریم.
1) هر عددی مانند $N$ بشکل $N = (10a + b)$ قابل نمایش است که $b$ نماینده رقم یکان و $a$ نماینده بقیه ارقام است. مانند
$8827 = 10 \times 882 + 7$
2) هر قاعده بخشپذیری بر عددی مانند $q$، در مورد عاملهای آن عدد مانند $d$ هم صدق میکند. یعنی اگر قاعده ای برای بخشپذیری بر $21$ بدست آوریم، برای $3$ و $7$ هم صدق میکند.
اعداد مختوم به رقم یکان $1$ قاعده بخشپذیری جالبی دارند که براحتی با روش جبری قابل اثباتند. فرض کنید عددی بصورت
$q = 10n + 1$
داریم که $n$ میتواند چند رقمی باشد.
قاعده 1: اگر $(10a + b)$ بر $(10n + 1)$ بخشپذیر باشد، آنگاه $(a - bn)$ نیز بر $(10n + 1)$ بخشپذیر است.
اثبات:
$1)\frac{{10a + b}}{{10n + 1}} = k \Rightarrow b = 10kn + k - 10a$
از معادله $1$، $b$ را در $(a - bn)$ جایگزین میکنیم.
$a - (10kn + k - 10a)n$
$= a - 10k{n^2} - kn + 10an$
$= 10an + a - 10k{n^2} - kn$
$= a(10n + 1) - kn(10n + 1)$
$= (a - kn)(10n + 1)$
اثبات کامل شد. مثال: میخواهیم بدانیم $8827$ بر $91$ قابل قسمت است یانه.
$8827 \Rightarrow 882 - 7 \times 9 = 819 \Rightarrow 81 - 9 \times 9 = 0$
پس $8827$ بر $91$ قابل قسمت است. طبق قانون $2$، چون $91$ حاصلضرب $7 \times 13$ است، این قاعده برای $7$و $13$ نیز صدق میکند ولی برای $7$ بهتر است از $7 \times 3 = 21$ استفاده شود. حال میتوان فهمید که چرا اعداد مختوم به $3$و$7$و$9$ را به عدد کوچکی ضرب میکنند تا رقم یکانشان $1$ شود. بنا بر قانون $2$ برای اعداد زیر و عوامل اول آنها براحتی میتوان قاعده بخشپذیری ساخت.
$11, 21=3×7, 31, 41, 51=3×17, 61, 71, 81=3^4, 91=7×13$
قاعده مشابهی برای اعداد مختوم به $9$ وجود دارد.
قاعده $2$: اگر $(10a + b)$ بر $(10n + 9)$ بخشپذیر باشد، آنگاه $b(n + 1) + a$ نیز بر $(10n + 9)$ بخشپذیر است.
اثبات:
$2)\frac{{10a + b}}{{10n + 9}} = k \Rightarrow b = 10kn + 9k - 10a$
از معادله 2، b را در $b(n + 1) + a$ جایگزین میکنیم.
$(10kn + 9k - 10a)(n + 1) + a$
$ = 9k - 9a + 10k{n^2} - 10an + 19kn$
$ = 10k{n^2} + 9kn + 10kn + 9k - 10an - 9a$
$ = kn(10n + 9) + k(10n + 9) - a(10n + 9)$
$ = (kn + k - a)(10n + 9)$
اثبات کامل شد.مثال: میخواهیم بدانیم $2613$ بر $39$ قابل قسمت است یا نه.
$2613\Rightarrow 261+3\times 4=273\Rightarrow 27+3\times 4=39$
پس $2613$ بر $39$ بخشپذیر است. طبق قانون $2$، چون $39$ حاصلضرب $3×13$ است، این قاعده میتواند برای $3$و $13$ هم بکار رود. همانطور که در قاعده $1$ اشاره شد عدد $13$ را میتوان به $7$ نیز ضرب کرد تا رقم یکان آن، $1$ شود و از قاعده قبلی استفاده شود. انتخاب روش بستگی به سهولت کار با آن روش دارد. حال میتوان فهمید چرا اعداد مختوم به $3$و$7$ را به عدد کوچکی ضرب میکنند تا رقم یکان آنها $9$ شود. بنا بر قانون $2$ با این روش برای اعداد زیر و عوامل اول آنها براحتی میتوان قاعده بخشپذیری ساخت.
$9=3×3, 19, 29, 39=3×13, 49=7×7, 59, 69=3×23, 79, 89$
با تمام زیبایی و قدرت روشهای فوق که به برش از راست و ایجاد تماس (osculation) معروف است ، از معایب آنها، این است که باقیمانده احتمالی را بدست نمیدهند و فقط بخشپذیری یا بخش ناپذیری عدد مفروض را تعیین میکنند و برای توانهای $2$و$5$ راه حلی ارائه نمیدهند. نامگذاری ایجاد تماس (osculation) برای این است که عدد واسطه، نقش تماس دهنده (osculator) را دارد. مثلا برای قاعده بخشپذیری بر $13$، باید $13$ به $7$ ضرب شود تا رقم یکانش $1$ شود. عدد $7$ در اینجا نقش تماس دهنده (osculator) را دارد. اگر آزادی عمل در این روش را به روش برش از چپ بدهیم، هم باقیمانده احتمالی را بدست میدهد و هم برای توانهای $2$و$5$ راه حل تولید میشود.
در پایان قابل ذکر است که نیازی نیست خود را به اعداد دورقمی محدود کنیم. برای نمونه
$201=67×3$
برای قاعده $1$ مناسب است که البته قاعده ساخته شده آن برای عوامل آن بخصوص $67$ نیز قابل استفاده است.
