به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+1 امتیاز
90 بازدید
در دبیرستان و دانشگاه توسط ناصر آهنگرپور (821 امتیاز)
ویرایش شده توسط ناصر آهنگرپور

با درود به دوستان و دوستداران ریاضی: همانطور که در بلاگ قبلی بنده https://math.irancircle.com/blog/353/ اشاره شد روشی بنام روش برش از راست یا ایجاد تماس (osculation) با استفاده از همنهشتی وجود دارد که برای اعداد مختوم به رقم یکان $1$ و $9$ و عوامل اول آنها مناسبند.

آیا روش جبری ساده تری برای اثبات کلی بخشپذیری بر اعداد مختوم به رقم یکان $1$ و $9$ وجود دارد؟

1 پاسخ

+1 امتیاز
توسط ناصر آهنگرپور (821 امتیاز)
ویرایش شده توسط ناصر آهنگرپور

با درود مجدد به دوستان عزیز. قصد داشتم اثبات جبری خود را بصورت بلاگ دراختیار دوستان قرار دهم ولی چون مرجع معتبری در تأیید یافته هایم پیدا نکردم و بهیچوجه مایل نیستم اطلاعات بدون مرجع بدوستان عرضه کنم، آنها را بصورت پاسخ در معرض قضاوت دوستان و استادان عزیز قرار میدهم. امید است مفید واقع شود.

ابتدا باید دو قانون زیر را بخاطر بسپاریم.

1) هر عددی مانند $N$ بشکل $N = (10a + b)$ قابل نمایش است که $b$ نماینده رقم یکان و $a$ نماینده بقیه ارقام است. مانند $8827 = 10 \times 882 + 7$

2) هر قاعده بخشپذیری بر عددی مانند $q$، در مورد عاملهای آن عدد مانند $d$ هم صدق میکند. یعنی اگر قاعده ای برای بخشپذیری بر $21$ بدست آوریم، برای $3$ و $7$ هم صدق میکند.

اعداد مختوم به رقم یکان $1$ قاعده بخشپذیری جالبی دارند که براحتی با روش جبری قابل اثباتند. فرض کنید عددی بصورت $q = 10n + 1$ داریم که $n$ میتواند چند رقمی باشد.

قاعده 1: اگر $(10a + b)$ بر $(10n + 1)$ بخشپذیر باشد، آنگاه $(a - bn)$ نیز بر $(10n + 1)$ بخشپذیر است.

اثبات:

$1)\frac{{10a + b}}{{10n + 1}} = k \Rightarrow b = 10kn + k - 10a$

از معادله $1$، $b$ را در $(a - bn)$ جایگزین میکنیم.

$a - (10kn + k - 10a)n$

$= a - 10k{n^2} - kn + 10an$

$= 10an + a - 10k{n^2} - kn$

$= a(10n + 1) - kn(10n + 1)$

$= (a - kn)(10n + 1)$

اثبات کامل شد. مثال: میخواهیم بدانیم $8827$ بر $91$ قابل قسمت است یانه.

$8827 \Rightarrow 882 - 7 \times 9 = 819 \Rightarrow 81 - 9 \times 9 = 0$

پس $8827$ بر $91$ قابل قسمت است. طبق قانون $2$، چون $91$ حاصلضرب $7 \times 13$ است، این قاعده برای $7$و $13$ نیز صدق میکند ولی برای $7$ بهتر است از $7 \times 3 = 21$ استفاده شود. حال میتوان فهمید که چرا اعداد مختوم به $3$و$7$و$9$ را به عدد کوچکی ضرب میکنند تا رقم یکانشان $1$ شود. بنا بر قانون $2$ برای اعداد زیر و عوامل اول آنها براحتی میتوان قاعده بخشپذیری ساخت.

$11, 21=3×7, 31, 41, 51=3×17, 61, 71, 81=3^4, 91=7×13$

قاعده مشابهی برای اعداد مختوم به $9$ وجود دارد.

قاعده $2$: اگر $(10a + b)$ بر $(10n + 9)$ بخشپذیر باشد، آنگاه $b(n + 1) + a$ نیز بر $(10n + 9)$ بخشپذیر است.

اثبات:

$2)\frac{{10a + b}}{{10n + 9}} = k \Rightarrow b = 10kn + 9k - 10a$

از معادله 2، b را در $b(n + 1) + a$ جایگزین میکنیم.

$(10kn + 9k - 10a)(n + 1) + a$

$ = 9k - 9a + 10k{n^2} - 10an + 19kn$

$ = 10k{n^2} + 9kn + 10kn + 9k - 10an - 9a$

$ = kn(10n + 9) + k(10n + 9) - a(10n + 9)$

$ = (kn + k - a)(10n + 9)$

اثبات کامل شد.مثال: میخواهیم بدانیم $2613$ بر $39$ قابل قسمت است یا نه.

$2613\Rightarrow 261+3\times 4=273\Rightarrow 27+3\times 4=39$

پس $2613$ بر $39$ بخشپذیر است. طبق قانون $2$، چون $39$ حاصلضرب $3×13$ است، این قاعده میتواند برای $3$و $13$ هم بکار رود. همانطور که در قاعده $1$ اشاره شد عدد $13$ را میتوان به $7$ نیز ضرب کرد تا رقم یکان آن، $1$ شود و از قاعده قبلی استفاده شود. انتخاب روش بستگی به سهولت کار با آن روش دارد. حال میتوان فهمید چرا اعداد مختوم به $3$و$7$ را به عدد کوچکی ضرب میکنند تا رقم یکان آنها $9$ شود. بنا بر قانون $2$ با این روش برای اعداد زیر و عوامل اول آنها براحتی میتوان قاعده بخشپذیری ساخت.

$9=3×3, 19, 29, 39=3×13, 49=7×7, 59, 69=3×23, 79, 89$

با تمام زیبایی و قدرت روشهای فوق که به برش از راست و ایجاد تماس (osculation) معروف است ، از معایب آنها، این است که باقیمانده احتمالی را بدست نمیدهند و فقط بخشپذیری یا بخش ناپذیری عدد مفروض را تعیین میکنند و برای توانهای $2$و$5$ راه حلی ارائه نمیدهند. نامگذاری ایجاد تماس (osculation) برای این است که عدد واسطه، نقش تماس دهنده (osculator) را دارد. مثلا برای قاعده بخشپذیری بر $13$، باید $13$ به $7$ ضرب شود تا رقم یکانش $1$ شود. عدد $7$ در اینجا نقش تماس دهنده (osculator) را دارد. اگر آزادی عمل در این روش را به روش برش از چپ بدهیم، هم باقیمانده احتمالی را بدست میدهد و هم برای توانهای $2$و$5$ راه حل تولید میشود.

در پایان قابل ذکر است که نیازی نیست خود را به اعداد دورقمی محدود کنیم. برای نمونه $201=67×3$ برای قاعده $1$ مناسب است که البته قاعده ساخته شده آن برای عوامل آن بخصوص $67$ نیز قابل استفاده است.


حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...