مفهوم انتفای مقدم در ریاضی

Question

معنی عبارت «به انتفاءِ مقدم» در ریاضی چیست؟ چه کاربردی دارد مثلا می‌گویند «رابطهٔ تهی به انتفای مقدم یک تابع است» این به انتفای مقدم یعنی چه؟ ممنون می‌شوم هم توضیحش بدید و هم بفرمایید کجاها کاربرد دارد و ازش چطور استفاده کنیم. با تشکر.

Answer 1

اگر در یک گزاره ی شرطی، شرط دروغ باشد در اینصورت آن ترکیب شرطی همواره درست است در واقع با توجه به جدول ارزش گزاره شرطی زیر

$$\begin{array}{c|c|c} P&Q&P \rightarrow Q\\ \hline T&T&T\\ \color{red}T&\color{red}F&\color{red}F\\ F&T&T\\ F&F&T \end{array}$$

که در آن $T$ به معنای درست و $F$ غلط است. همانطور که می‌بینید فقط در صورتی که شرط یا گزاره مقدم $T$ و گزاره دوم غلط باشد آنگاه ترکیب شرطی $P\rightarrow Q$ غلط است ولی در حالت‌های دیگر همواره درست است. پس اگر ما به جای $P$ از یک تناقض یا دروغگو $F$ که ارزش آن همواره غلط است استفاده کنیم در اینصورت جدول زیر را داریم:

$$\begin{array}{c|c|c} F&Q&F\rightarrow Q\\ \hline F&T&T\\ F&F&T \end{array}$$

همانطور که می‌بینید $F\rightarrow Q$ همواره درست است اصطلاحا می‌گویند یک راستگو است.

در جاهایی هم که می‌بینید گفته به انتفای مقدم، منظور این است که شرط در یک گزاره شرطی دروغ (یا نادرست) است و لذا بنابر بحث بالا ترکیب شرطی درست است.

به عنوان مثال گزاره «تهی زیرمجموعهٔ هر مجموعه‌ای است» یا $\emptyset\subseteq A$ درست است زیرا ترکیب شرطی:

$$(x\in\emptyset)\rightarrow (x\in A)$$

می‌دانیم که تهی هیچ عضوی ندارد لذا $x\in\emptyset$ یک دروغگو است (یعنی ارزش آن همواره نادرست است) لذا بنابر بحثی که گفتیم ترکیب شرطی $ (x\in\emptyset)\rightarrow (x\in A)$ همواره درست است لذا $ \emptyset\subseteq A$.

Comments

ممنون از پاسخ جامعتون.
سوالی برام پیش اومد. آیا میشه ثابت کرد تهی زیر مجموعه هیچ زیر مجموعه ای(به جز خودش) نیست؟(می دانیم که این گزاره غلطه. اما به نظرم به نفی مقدم (انتفاء مقدم)میشه این گزاره غلط رو ثابت کرد!!!!!!!!!!!!!)

---

@M.B
ممنون برای دیدگاهتون.
راستشو بخواید من متوجه منظورتون از این جمله نشدم: " تهی زیرمجموعه هیچ زیر مجموعه ای(به جز خودش) نیست؟"
این گزاره اینطوریه: $\require{cancel}(A\neq \emptyset)\rightarrow (\emptyset\cancel{\subset} A)$ ؟
یا منظورتون چیز دیگه س؟
اگر منظورتون همین باشه که من متوجه شدم لطفا بگید که چرا $A\neq \emptyset$ همیشه یک تناقضه؟چون اینطور نیست!

---

دقیقا منظورم همین بود.البته این حکم که قطعا درست نیست ولی به نظرم با انتفاء مقدم میشه برهانی براش آورد!!!
برهان: فرض کنیم $A$ یک مجموعه ناتهی باشد. در اینصورت
$(x\in  \emptyset)   \rightarrow  (x \notin A)$به انتفاء مقدم یک گزاره همواره درست است!!!!!!!!پس تهی زیرمجموعه
 $  A$نیست!!!!!!

---

@M.B
پس اگر منظورتون این بود که گفتم اونوقت اشتباهه استدلالتون.
چون $A\neq \emptyset$ یک تناقض نیست.
شما باید ثابت کنید $\require{cancel}(A\neq \emptyset)\rightarrow (\emptyset\cancel{\subset} A)$
و توجه کنید که $(x\in  \emptyset)   \rightarrow  (x \notin A)$ هم ارز با $\emptyset\cancel{\subset} A$ نیست!

---

در مورد $\emptyset \neq A  $ بعدا بحث می کنیم.
ولی در مورد قسمت دوم فرض کنید $A,B$ دو مجموعه هستن و عنصری مثل $x\in A$ هست که در $B$ نیست. در اینصورت می شه گفت $A$ زیر مجموعه $B$ نیست. درسته؟

---

درسته. ولی این یعنی
$(x\in A \wedge x\notin B) \rightarrow A\not\subset B$
نه
$((x\in A)\rightarrow (x\notin B))\rightarrow A\not\subset B$

---

یعنی از $ x\in A  \rightarrow x\notin B $ نمیشه نتیجه گرفت $َA$ زیر مجموعه $B$ نیست. چرا؟

---

میدونید یه بحث تقریبا اشتباه داره دنبال میشه. شما دارید میگید
$\require{cancel}(A\neq \emptyset)\rightarrow (\emptyset\cancel{\subset} A)$
یعنی در اینجا $P=(A\neq \emptyset)$. خوب این گزاره ممکنه درست باشه ممکنه نباشه پس انتفای مقدمی در کار نیست.
در مورد سوالتون: چرا میشه. در واقع چون ما میگیم $x\in A\rightarrow x\notin B$ یعنی به ازای هر $x\in A$ پس یعنی $A\subset B^c$. ولی شما گفتید: عنصری مثل $x\in A$ هست که در $B$ نیست یعنی $A\not\subset B$. و این دو تا یعنی $A\subset B^c$ و $A\not\subset B$ خیلی با هم فرق میکنن. یکی یعنی هر عضو از $A$ در $B$ نیست و یکی یعنی عضوی وجود داره در $A$ که در $B$ نیست.
یعنی در برهان شما میتونیم نتیجه بگیریم $\emptyset\subset A^c$. نه $\emptyset\not\subset A$. شما وقتی میگید $\emptyset \not\subset A$ فرض کردید که $\exists x: x\in\emptyset\wedge x\notin A$ در حالیکه $x\in\emptyset$ یک تناقضه و $F\wedge P$ همواره دروغگو است در حالیکه شما گفتید راستگو است. (گفتید $(x\in \emptyset )\rightarrow (x\notin A)$ و این گزاره راستگو است سپس گفتید پس تهی زیر مجموعه هر مجموعه ای نیست یعنی با $\emptyset\not\subset A$ که یک دروغگو است هم ارز گرفتید!)

---

ممنون از توضیحاتتون. به هر حال منطق ریاضی خیلی حساسه و با یک کلمه ممکنه معنا کلا عوض بشه و من این دقت رو روی جملاتم نداشتم.
فرض کنیم $A \subset  B^c$. آیا نمیشه نتیجه گرفت $A$ زیر مجموعه $B$ نیست؟
البته من اون دو رو هم ارز نگرفتم .شاید منظورم رو بد عنوان کرده باشم.منظورم این بود که از   $x\in  \emptyset   \rightarrow  x\notin A$
میشه نتیجه گرفت تهی زیرمجموعه $A$ نیست نه اینکه این دو هم ارز باشند.

---

من احساس میکنم خیلی از فرض ها رو نادیده گرفتیم. شما میگید تهی زیرمجموعه ی هر مجموعه (ناتهی) نیست. خوب حالا شما بگید $\{A\neq \emptyset| \emptyset\not\subset A\}$ برابر چیست؟
در حالت کلی مجموعه $\{x|P(x)\}$ که $P(x)$ یک گزاره نادرست است برابر چیست!؟ پس ما داریم در مورد چیزی بحث میکنیم که اصلا وجود نداره.(یادآوردی میکنم که $\emptyset\not\subset A$ یک تناقض است).و شما بهتر میدونید که در ریاضیات این خیلی مهمه که در مورد چیزایی بحث کنیم که حداقل مثال هایی در موردش موجود باشه.
در مورد سوالتون: نه نمیشه مثلا $A=\emptyset$ آنگاه هم $A\subset B$ و هم $A\subset B^c$.(چون ما می دانیم تهی زیر مجموعه هر مجموعه ای هست!) یعنی از $A\subset B^c$ نمی تونیم نتجه بگیریم $A\not \subset B$

---

در مورد اون مجموعه باید بگم که نمی دونم چی باید بگم!!!
ولی در مورد سوالی که کردم قطعا می دوونیم که گزاره نادرسته. فقط خواستم ایراد استدلالم به وسیله انتفاء مقدم برام مشخص بشه که با توجه به توضیحات شما مشخص شد و باید تشکر کنم که وقت گذاشتید.
در مورد سوالم هم حق با شماس.

---

اون مجموعه که واضحه برابر تهی است. هیچ مجموعه ای نداریم که تهی زیرمجموعه ش نباشه.
ممنون از شما.من که چیز خاصی نگفتم خودتون همه چی رو گفتید. کاملا سوالتون منطقی بود و ببخشید که انقد به این شاخه و اون شاخه پریدم.