بُردِ تابع $\sin^2x$ چه می شود؟

Question

سلام خدمت دوستان. محدودهٔ عبارت $\sin^2x$ چه می‌شود؟ چون محدودهٔ سینوس بین $1$ تا $-1$ هست و وقتی به توان می‌رسد پس طرفین نامعادله هم به‌توان می‌رسند و اینجوری محدوده می‌شود سینوس بین یک و یک. چطور حل می‌شود؟

Comments

Behnam۸۳@ ضمن خوش آمد گویی به شما این برداشت شما اشتباه است. ببینید برد سینوس $xsin $ که از 1- تا 1 است این مقادیر نسبت به صفر متقارن است و وقتی ما آنها را به توان 2 می رسانیم پس اولاً منفی نمیشوند و از صفر تا یک خواهند شد لذا بُردتابع $sin^2(x)$ برابر $[0,1]$ است.

Answer 1

تابع sin به توان 2 یعنی چه ؟ یعنی هر مقداری که سینوس به شما میدهد را به توان 2 برسان . حالا شما اینگونه تصور کن که تمام اعداد بین 1 و 1- را به توان 2 برسانید . نتیجه این میشود که این اعداد بین 0 تا 1 جای میگیرند . در ریاضیات گاهی وقت ها نوشته ها درست هستند اما کامل نیستند . این مثالی هم که شما زدید نمونه این از همین بود .

Answer 2

قانون توان دوم برای نامساوی ها برای اعداد مثبت درست است یعنی

$$0 =< a<b \Rightarrow a^2<b^2 $$

به مثال توجه کنید $$-5<x<2 \nrightarrow 25<x^2<4 $$ اما جواب درست این مثال: $$-5<x<2 \Rightarrow -5<x<0 \quad or\quad0=<x<2 $$ به دو حالت تقسیم می شود حالت اول طبق قانون بالا داریم $$ 0=<x<2 \Rightarrow 0=<x^2<4 \quad\quad 1 $$ حالت دوم به قانون بالا تبدیل می کنیم $$-5<x<0 \Rightarrow 0<-x<5 \Rightarrow 0<x^2<25 \quad \quad 2 $$ اجتماع دو رابطه 1 و 2 داریم

$$-5<x<2 \Rightarrow 0<=x^2<25 $$ بنابراین به همین شیوه جواب سوال $$-1=<sinx=<1 \Rightarrow 0=<sin^2x=<1 $$