اعداد $ \frac{2}{x+y} $ و $ \frac{2}{x+z} $ و $ \frac{2}{z+y} $سه جمله متوالی دنباله حسابیند، ثابت کنید $z² ,y², x²$ سه جمله متوالی دنباله حسابیند.

Question

در جزوهٔ ریاضی دبیرمان پرسش زیر آمده‌است. اگر اعداد $ \frac{2}{x+y} $ و $ \frac{2}{x+z} $ و $ \frac{2}{z+y} $ سه جملهٔ متوالی دنباله‌ای حسابی باشند، ثابت کنید $x^2$ و $y^2$ و $z^2$ نیز سه جملهٔ متوالی از دنباله‌ای حسابی هستند.

Comments

Faaaaatemehzahra@ راهنمای تایپ ریاضی در سایت را مطالعه و اقدام کنید.تلاشتان را برای حل بنویسید .به قسمتی که اصلاح کردم توجه کنید. عنوان باید صورت سوال باشد.

---

Faaaaatemehzahra@
سه جمله اولی که تشکیل دنباله حسابی میده رابطه ای با هم میسازن. اون رابطه رو بنویسید و طرفین رو در
(x+y)(x+z)(y+z) ضرب و ساده کنید.

Answer 1

$$ 2 \times \frac{2}{x+z}=\frac{2}{y+z}+\frac{2}{x+y} $$

به 2 ساده کنید

$ \frac{2}{x+z}=\frac{x+z+2y}{(y+z)(x+y)} \Rightarrow (x+z)^{2}+2y(x+z)=2(y+z)(x+y) $

$$ x^{2}+z^{2}=2y^{2} \Rightarrow y^{2}=\frac{x^{2}+z^{2}}{2} $$

پس $ x^{2}, y^{2} , z^{2} $ سه جمله متوالی دنباله حسابی هستند.

Comments

صورت کسر هر عددی می توانه باشه  در  سوال اصلی  صورت کسر عدد 1 می باشه

---

برای من سوال دیگه ای پیش اومد؟ غیر از اینکه x=y=x می تونه جواب دیگه ای هم داشته باشه؟

---

rafig256@ البته ، وقتی اثبات کردیم هر وقت فرض برقرار باشد حکم نیز برقرار خواهد شد. اما مثال
$ x=\frac{14}{3} , y= \frac{10}{3} , z= \frac{-2}{3} $