به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
0 امتیاز
49 بازدید
در دانشگاه توسط سما (-1 امتیاز)

سلام منظور از هسته بازتولید یا باز افرین در فضای هیلبرت چیست یک مثال بزنید و یک مثال از فضای تابعی هیلبرت بزنید

مرجع: کتاب انالیز تابعی کاربردی دانشگاه تهران صفحه 268

1 پاسخ

+2 امتیاز
توسط Hamed.Baghal (366 امتیاز)
انتخاب شده توسط AmirHosein
 
بهترین پاسخ

از یکی از با صلابت‌ترین و معروف‌ترین کتاب‌های آنالیز ریاضی، کتاب «آنالیز حقیقی و مختلط» والتر رودین تعریف فضای هیلبرت و مثال‌های مربوطه را از فصل چهارم ببینید. و اما درباره‌ی هسته بازتولید یا باز آفرین (Reproducing Kernel) بیایید به یک تعریف بپردازیم.

فرض کنیم $X$ یک مجموعه باشد، $\mathcal{H}$ یک فضای هیلبرت هسته‌ی بازتولید بر $X$ روی $F$ است، اگر

(آ) $\mathcal{H}$ یک زیر فضای برداری از $\mathcal{F}(X,F)$ (فضای برداری توابع تعریف شده از $X$ به میدان $F$ با عمل جمع نقطه‌ای و ضرب اسکالر) باشد.

(ب) $\mathcal{H}$ مجهز به یک ضرب داخلی باشد.

(ج) به ازای هر $y\in X$، تابعک ارزیاب (evaluation functional)، $E_{y}(f):\mathcal{H}\to F$ با $E_{y}(f)=f(y)$، کراندار است.

اگر $\mathcal{H}$ یک فضای هیلبرت هسته‌ی بازتولید بر $X$ باشد، آنگاه چون هر تابعک خطی کراندار توسط ضرب داخلی با یک بردار منحصربفرد در $\mathcal{H}$ داده می‌شود، لذا به ازای هر $y\in X$، یک بردار $k_y\in\mathcal{H}$ موجود است که به ازای هر $f\in \mathcal{H}$، $f(y)=\langle f,k_y\rangle$.

حال به تعریف مورد نظر می‌رسیم،

تابع $k_{y}$ تعریف شده در بالا، هسته‌ی بازتولید برای نقطه $y$، خوانده می‌شود. تابع دومتغیره که به‌صورت زیر تعریف می‌شود، $$K(x,y)=k_{y}(x)$$ هسته‌ی بازتولید برای $f\in \mathcal{H}$، خوانده می‌شود.

می‌توان ثابت کرد که

  1. $K(x,y)=\overline{K(y,x)}$
  2. $f(x)=\langle f,K(x,\cdot)\rangle$
  3. $K_{ij}=K(x_{i},y_{j})$ یک ماتریس مثبت معین می‌باشد.

حال یک مثال کاربردی بیان می‌کنیم.

هسته‌ی بازتولید برای فضای توابع هارمونیک کروی همگن از درجه $k$ به صورت زیر است $$K_{k}(x,y)=(2k+1)C_{k}^{\mu}(\langle x,y\rangle),$$ که در آن $x,y\in S^{2}$ و $C_{k}^{\mu}(t)$ تابع گگنباور تعریف شده روی خط حقیقی می‌باشد. می‌توان ثابت کرد که $$f_{j}(x)=\sum_{i=1}^{2k+1}a_{ij}C_{k}^{\mu}(\langle x,\eta_{i}\rangle),$$ برای $j=1\cdots 2k+1$، یک پایه متعامد یکه برای فضای توابع هارمونیک کروی همگن از درجه $k$ می‌باشند. در اینجا ثابت می‌شود که $a_{ij}=(K_{k}(\eta_{i},\eta_{j}))^{-\frac{1}{2}}$. تقاط $\eta_{i}$ و $\eta_{j}$ روی کره می‌باشند و می‌توانند به‌صورت تصادفی انتخاب شوند.


حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...