از یکی از با صلابتترین و معروفترین کتابهای آنالیز ریاضی، کتاب «آنالیز حقیقی و مختلط» والتر رودین تعریف فضای هیلبرت و مثالهای مربوطه را از فصل چهارم ببینید. و اما دربارهی هسته بازتولید یا باز آفرین (Reproducing Kernel) بیایید به یک تعریف بپردازیم.
فرض کنیم
$X$
یک مجموعه باشد،
$\mathcal{H}$
یک فضای هیلبرت هستهی بازتولید بر
$X$
روی
$F$
است، اگر
(آ)
$\mathcal{H}$
یک زیر فضای برداری از
$\mathcal{F}(X,F)$
(فضای برداری توابع تعریف شده از
$X$
به میدان
$F$
با عمل جمع نقطهای و ضرب اسکالر) باشد.
(ب)
$\mathcal{H}$
مجهز به یک ضرب داخلی باشد.
(ج) به ازای هر
$y\in X$،
تابعک ارزیاب (evaluation functional)،
$E_{y}(f):\mathcal{H}\to F$
با
$E_{y}(f)=f(y)$،
کراندار است.
اگر
$\mathcal{H}$
یک فضای هیلبرت هستهی بازتولید بر
$X$
باشد، آنگاه چون هر تابعک خطی کراندار توسط ضرب داخلی با یک بردار منحصربفرد در
$\mathcal{H}$
داده میشود، لذا به ازای هر
$y\in X$،
یک بردار
$k_y\in\mathcal{H}$
موجود است که به ازای هر
$f\in \mathcal{H}$،
$f(y)=\langle f,k_y\rangle$.
حال به تعریف مورد نظر میرسیم،
تابع
$k_{y}$
تعریف شده در بالا، هستهی بازتولید برای نقطه
$y$،
خوانده میشود. تابع دومتغیره که بهصورت زیر تعریف میشود،
$$K(x,y)=k_{y}(x)$$
هستهی بازتولید برای
$f\in \mathcal{H}$،
خوانده میشود.
میتوان ثابت کرد که
- $K(x,y)=\overline{K(y,x)}$
- $f(x)=\langle f,K(x,\cdot)\rangle$
- $K_{ij}=K(x_{i},y_{j})$
یک ماتریس مثبت معین میباشد.
حال یک مثال کاربردی بیان میکنیم.
هستهی بازتولید برای فضای توابع هارمونیک کروی همگن از درجه
$k$
به صورت زیر است
$$K_{k}(x,y)=(2k+1)C_{k}^{\mu}(\langle x,y\rangle),$$
که در آن
$x,y\in S^{2}$
و
$C_{k}^{\mu}(t)$
تابع گگنباور تعریف شده روی خط حقیقی میباشد. میتوان ثابت کرد که
$$f_{j}(x)=\sum_{i=1}^{2k+1}a_{ij}C_{k}^{\mu}(\langle x,\eta_{i}\rangle),$$
برای
$j=1\cdots 2k+1$،
یک پایه متعامد یکه برای فضای توابع هارمونیک کروی همگن از درجه
$k$
میباشند. در اینجا ثابت میشود که
$a_{ij}=(K_{k}(\eta_{i},\eta_{j}))^{-\frac{1}{2}}$.
تقاط
$\eta_{i}$
و
$\eta_{j}$
روی کره میباشند و میتوانند بهصورت تصادفی انتخاب شوند.
