مجموعه جواب معادلهٔ $\cos(2x)=2\sin(3x)$ را با استفاده از اتحادهای مثلثاتی به دست آورید.

Question

مجموعه جواب معادلهٔ زیر را با استفاده از اتحادهای مثلثاتی به دست آورید:

$$\cos(2x)=2\sin(3x)$$

با رسم ‌نمودار هر تابع می‌شود جواب‌ها را به دست آورد، اما راه حل با کمک اتحادهای مثلثاتی نیاز است. در‌ پاسخنامه با روش رسم دو تابع، پاسخ را به دست آمده است. البته در سوال اصلی، بازه‌‌‌ای که مجموعهٔ جواب‌ عضو آن باشد خواسته شده بوده‌است و جواب‌های کلی را نخواسته بوده‌است. اما من کنجکاو بودم که جواب‌های کلی را چطور می‌توان بدست آورد. آیا با کمک اتحادهای مثلثاتی می‌توان آنها را یافت؟

رابطهٔ زیر را در نظر بگیرید.

$$\sin(6x)=2\sin(3x)\times \cos(3x)$$

پس می‌توان نوشت:

$$2\sin(3x)=\frac{\sin(6x)}{\cos(3x)}$$

و معادله‌ی زیر

$$\cos(2x)=2\sin(3x)$$

به شکل زیرین

$$\cos(3x)\times\cos(2x)=\sin(6x)$$

در می‌آید.

اما من برای ادامهٔ حل ایده‌ای ندارم. اگر برای حل آن، با استفاده از مفاهیم ریاضی دبیرستان، ایده‌ای دارید، بسیار سپاس‌گذار می‌شوم که من را راهنمایی کنید.

توجه داریم که این معادله، فقط به ازای مجموعه‌ی جواب‌ها برقرار است، نه به ازای همه‌ی مقادیر $x$ . چرا که یک معادله است و نه یک اتحاد. مثلا اگر $x$ را برابر با $\frac \pi 4$ در نظر بگیریم،این معادله برقرار نمی‌شود،چرا که این $x$ جزو مجموعه‌ی جواب‌ها نیست.

Comments

@SorourMoshafian
اگر ادامه می دادید می توانستید بنویسید که:

$cos(3x) × cos(2x)= \frac{1}{2} [cos(5x) +cos(x)] \Longrightarrow 2sin(6x)=cos(5x)+cos(x)$

البته فکر نکنم چیزی را آسان کرده باشد.

Answer 1

• از اتحاد هایی که کمان ها را 3x و 2x به کما نx تبدیل می کنه استفاده می کنیم
  $$cos2x=1-2sin^2 x \; \; and\;\; sin3x=3sinx-4sin^3x$$ با جاگذاری در معادله داریم $$1-2sin^2 x=2(3sinx-4sin^3x) \Rightarrow 8sin^3x-2sin^2 x-6sinx+1=0 $$
• با فرض $ 2sinx=t$ معادله درجه 3 زیر داریم $$2t^3-t^2 - 6t+2=0\quad - 2\le t\le2 $$

• حل این معادله را می توانید از سایت های حل معادله آنلاین بدست آورید، سه ریشه تقریبی قابل قبول زیر دارد 1.837 و 0.327 و 1.664-در نتیجه داریم. $$sinx=-0.832, 0.635,0.918 $$

• منجر به معادله مثلثاتی ساده فوق می شود. این توضیح را بدهم که فرمول حل معادله درجه سوم در حالت کلی در سایت‌ها وجود داره می توان با یه جستجو ساده پیدا کرد اما بخاطر طولانی بودن و همچنین هدف این مسئله نمی باشه از آوردن آن خوداری کردم.

Comments

@amir7788 خیلی کوتاه نوشتین. لطفاً در مورد تساوی ای که اول نوشتید بیشتر توضیح دهید. همینطور متوجه نمیشم که کجا از تساوی سوال یا تساوی ای که آقا یا خانم @SorourMoshafian نوشته اند استفاده کردید.

---

@Elyas1  اتحادهای مورد نظر به راه حل اضافه کردم