Question

اگربدانیم مجموعه A ناتهی است و همچنین عبارت زیر برقرار است$$ ۳×n(A-B)=2×n(B-A)=5×n(A \bigcap B)$$ حداقل مقدار$ n(B)$ را به دست آورید

Answer 1

فرض کنید $n(A \cap B)=x$ پس با توجه به فرض مسئله داریم : $$n(A-B)= \frac{5}{3} x$$

$$ n(B-A)= \frac{5}{2} x $$

چون مجموعه $A$ ناتهی است پس $x \geq 1$ . زیرا اگر $x=0$ آنگاه $n(A \cap B)=0$ و $n(A-B)=0$ در نتیجه $n(A)=n(A-B)+n(A \cap B) = 0$ . که با فرض ناتهی بودن$A$ در تناقض است . از آنجا که $n(A- B)$ و $n(B-A)$ اعداد صحیح مثبت هستند پس $x$ باید مضرب $2$ و $3$ باشد . بنابراین $x$ باید مضرب $6$ باشد . پس $x \geq 6$ . در نتیجه داریم :

$$n(B)=n(B-A)+n(A \cap B)= \frac{5}{2} x+x= \frac{7}{2} x \geq \frac{7}{2} \times 6=21 $$

پس مجموعه $B$ حداقل $21$ عضو دارد .

Answer 2

• واضح است که عدد صحیح نامنفی k وجود دارد که $$ ۳n(A-B)=2n(B-A)=5n(A \bigcap B)=30k$$ در نتیجه $$ n(A-B)=10k, \quad n(B-A)=15k, \quad n(A \bigcap B)=6k$$

مقدار kغیر صفر است چون در غیر این صورت مجموعه های A و B مجزا باید باشند در این صورت $$n(A) =n(A-B) =10k=0 $$ این ممکن نیست چون A ناتهی است. پس k طبیعی است $$ n(B)=n(B-A)+n(A \bigcap B)=21k$$

• بنابراین n(B) مضارب طبیعی 21 می باشه که 21 کوچکترین مقدار آن می باشه.