به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+3 امتیاز
565 بازدید
در دانشگاه توسط فرید (247 امتیاز)
ویرایش شده توسط fardina

انتگرال $ \int_0^1\frac{\ln(x+1)}{x^2+1} dx$ را چطوری میتوان محاسبه کرد؟

2 پاسخ

+4 امتیاز
توسط saderi7 (7,822 امتیاز)
ویرایش شده توسط saderi7

ابتدا متغییر رو تغییر میدهیم :

$$x = \tan\theta \to dx=(\tan ^ 2\theta +1)d \theta $$ $$\tan (\dfrac{\pi}{4})=1 \ \ , \ \ \tan (0)=0$$

باز سازی انتگرال :

$$I= \int_{0}^{\pi/4} \ln(1+\tan\theta) \ d\theta \tag{ 1}$$

از نکته زیر استفاده میکنیم :

$$\int_{0}^{a} f(x) \ dx = \int_{0}^{a} f(a-x) \ dx$$

خواهیم داشت :

$$I = \int_{0}^{\pi/4} \ln\biggl(1+\tan\Bigl(\frac{\pi}{4}-\theta\Bigr)\biggr) \ d\theta = \int_{0}^{\pi/4} \ln\biggl(\frac{2}{1+\tan\theta} \biggr) \ d\theta \tag{ 2}$$

انتگرال $1,2$ را جمع میکنیم :

$$2I = \int_{0}^{\pi/4} \ln(2) \ d\theta\Rightarrow I= \ln(2) \cdot \frac{\pi}{8}$$
توسط fardina (17,196 امتیاز)
+1
@saderi7
ایده قشنگ.
توسط saderi7 (7,822 امتیاز)
@fardina
 ممنونم :)
+3 امتیاز
توسط fardina (17,196 امتیاز)
ویرایش شده توسط fardina

با استفاده از تغییر متغیر $ x=\tan\theta $ چون $ x $ از $ 0 $ تا $1$ تغییر می کند لذا $\theta $ از $ 0 $ تا $\pi/4 $ تغییر خواهد کرد و همچنین از $ dx=(\tan^2\theta+1)d\theta $ داریم: $$\require{cancel}\begin{align} \int_0^1\frac{\ln(x+1)}{x^2+1}dx&=\int_0^{\pi/4}\frac{\ln(\tan\theta+1)}{\cancel{\tan^2\theta+1}}(\cancel{\tan^2\theta+1)}d\theta \\ &=\int_0^{\pi/4}\ln(\frac{\sin\theta}{\cos\theta}+1)d\theta\\ &=\int_0^{\pi/4}(\ln(\sin\theta+\cos\theta)-\ln\cos(\theta))d\theta\\ &=\int_0^{\pi/4}(\ln(\sqrt{2}\cos(\pi/4-\theta))-\ln\cos(\theta))d\theta\\ &=\int_0^{\pi/4}\ln(\sqrt2)d\theta+\underbrace{\cancel{\int_0^{\pi/4}\ln(\cos(\pi/4-\theta))d\theta}}\\ &\qquad\qquad\qquad\qquad-\underbrace{\cancel{\int_0^{\pi/4}\ln(\cos\theta)d\theta}}\\ &=\int_0^{\pi/4}\ln(\sqrt2)d\theta\\ &=\pi/4\ln(\sqrt2)\\ &=\pi/8\ln2 \end{align}$$


اثبات برابری دو عبارتی که زیرشون خط کشیدم:

اگر قرار دهیم $ \alpha=\pi/4-\theta $ آنگاه : $$\begin{align} \int_0^{\pi/4}\ln(\cos(\pi/4-\theta)d\theta&=\int_{\pi/4}^0\ln(\cos\alpha)(-d\alpha)\\ &=\int_0^{\pi/4}\ln(\cos\alpha)d\alpha \end{align}$$

توسط fardina (17,196 امتیاز)
+1
توجه کنید که همواره $\sin\theta+\cos\theta=\sqrt2\sin(\pi/4+\theta)=\sqrt2\cos(\pi/4-\theta)$
توسط zh (1,176 امتیاز)
+1
بنظرم راه حل پایانی درست نیست. اینکه روی دو انتگرال خط زدین. این دو با هم برابر نیستن که حذف شن. من در نهایت به انتگرال ln sinx رسیدم.
توسط fardina (17,196 امتیاز)
+1
zh: ممنون برای دیدگاهتون. من اثبات برابری دو انتگرال رو اضافه کردم. چه خوبه شما هم راه حلتون رو بنویسید.
توسط zh (1,176 امتیاز)
+1
راه حل من خیلی طولانی شد. راستش انتگرال نهایی که حاصل از چند تغییر متغییر و جز به جز هستش، خیلی سخت شد و از حلش صرف نظر کردم

حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...