محاسبه انتگرال $\int_0^1\frac{\ln(x+1)}{x^2+1}$

Question

انتگرال $\int_0^1\frac{\ln(x+1)}{x^2+1} dx$ را چطوری میتوان محاسبه کرد؟

Answer 1

ابتدا متغییر رو تغییر میدهیم :

$$x = \tan\theta \to dx=(\tan ^ 2\theta +1)d \theta$$ $$\tan (\dfrac{\pi}{4})=1 \ \ , \ \ \tan (0)=0$$

باز سازی انتگرال :

$$I= \int_{0}^{\pi/4} \ln(1+\tan\theta) \ d\theta \tag{ 1}$$

از نکته زیر استفاده میکنیم :

$$\int_{0}^{a} f(x) \ dx = \int_{0}^{a} f(a-x) \ dx$$

خواهیم داشت :

$$I = \int_{0}^{\pi/4} \ln\biggl(1+\tan\Bigl(\frac{\pi}{4}-\theta\Bigr)\biggr) \ d\theta = \int_{0}^{\pi/4} \ln\biggl(\frac{2}{1+\tan\theta} \biggr) \ d\theta \tag{ 2}$$

انتگرال $1,2$ را جمع میکنیم :

$$2I = \int_{0}^{\pi/4} \ln(2) \ d\theta\Rightarrow I= \ln(2) \cdot \frac{\pi}{8}$$

Comments

@saderi7
ایده قشنگ.

---

@fardina
 ممنونم :)

Answer 2

با استفاده از تغییر متغیر $x=\tan\theta$ چون $x$ از $0$ تا $1$ تغییر می کند لذا $\theta$ از $0$ تا $\pi/4$ تغییر خواهد کرد و همچنین از $dx=(\tan^2\theta+1)d\theta$ داریم:

$$\require{cancel}\begin{align} \int_0^1\frac{\ln(x+1)}{x^2+1}dx&=\int_0^{\pi/4}\frac{\ln(\tan\theta+1)}{\cancel{\tan^2\theta+1}}(\cancel{\tan^2\theta+1)}d\theta \\ &=\int_0^{\pi/4}\ln(\frac{\sin\theta}{\cos\theta}+1)d\theta\\ &=\int_0^{\pi/4}(\ln(\sin\theta+\cos\theta)-\ln\cos(\theta))d\theta\\ &=\int_0^{\pi/4}(\ln(\sqrt{2}\cos(\pi/4-\theta))-\ln\cos(\theta))d\theta\\ &=\int_0^{\pi/4}\ln(\sqrt2)d\theta+\underbrace{\cancel{\int_0^{\pi/4}\ln(\cos(\pi/4-\theta))d\theta}}\\ &\qquad\qquad\qquad\qquad-\underbrace{\cancel{\int_0^{\pi/4}\ln(\cos\theta)d\theta}}\\ &=\int_0^{\pi/4}\ln(\sqrt2)d\theta\\ &=\pi/4\ln(\sqrt2)\\ &=\pi/8\ln2 \end{align}$$

---

اثبات برابری دو عبارتی که زیرشون خط کشیدم:

اگر قرار دهیم $\alpha=\pi/4-\theta$ آنگاه :

$$\begin{align} \int_0^{\pi/4}\ln(\cos(\pi/4-\theta)d\theta&=\int_{\pi/4}^0\ln(\cos\alpha)(-d\alpha)\\ &=\int_0^{\pi/4}\ln(\cos\alpha)d\alpha \end{align}$$

Comments

توجه کنید که همواره $\sin\theta+\cos\theta=\sqrt2\sin(\pi/4+\theta)=\sqrt2\cos(\pi/4-\theta)$

---

بنظرم راه حل پایانی درست نیست. اینکه روی دو انتگرال خط زدین. این دو با هم برابر نیستن که حذف شن. من در نهایت به انتگرال ln sinx رسیدم.

---

zh: ممنون برای دیدگاهتون. من اثبات برابری دو انتگرال رو اضافه کردم. چه خوبه شما هم راه حلتون رو بنویسید.

---

راه حل من خیلی طولانی شد. راستش انتگرال نهایی که حاصل از چند تغییر متغییر و جز به جز هستش، خیلی سخت شد و از حلش صرف نظر کردم