مقدار $n$چقدر است اگر $( \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2})^{n}-(\frac{ \sqrt{5}+1}{2} )^{n}=...$

Question

جواب اين سوال چي ميشه ..ممنون

اگر $$ ( \frac{ \sqrt{6}+ \sqrt{2} }{2} )^{n} - ( \frac{ \sqrt{5} +1}{2} )^{n} = ( \frac{ \sqrt{5} -1}{2} )^{n} -( \frac{ \sqrt{6}- \sqrt{2} }{2} )^{n} $$ مقدار $n$چند است

Answer 1

ابتدا جواب سوال رو با ياد آوري يك اتحاد شروع ميكنيم

اتحاد مزدوج

$$ \forall a,b \in R:(a-b)(a+b)=( a^{2}-b^{2} ) $$

حال با توجه به يادآوري مينويسيم.

$$ \frac{ \sqrt{6} + \sqrt{2} }{2} =A \rightarrow \frac{ \sqrt{6}- \sqrt{2} }{2} = \frac{1}{A} $$

$$ \frac{ \sqrt{5} + 1 }{2} =B \rightarrow \frac{ \sqrt{5}- 1 }{2} = \frac{1}{B} $$

بنابراين داريم

$$ ( \frac{ \sqrt{6}+ \sqrt{2} }{2} )^{n} - ( \frac{ \sqrt{5} +1}{2} )^{n} = ( \frac{ \sqrt{5} -1}{2} )^{n} -( \frac{ \sqrt{6}- \sqrt{2} }{2} )^{n} $$

$$ A^{n} - B^{n} = \frac{1}{ B^{n} } - \frac{1}{ A^{n} } $$

$$ A^{n} - B^{n} = \frac{ A^{n} - B^{n} }{(AB)^{n} } $$

$$ \rightarrow (AB)^{n}=1 $$

$$ \rightarrow (AB)^{n} = (AB)^{0} \rightarrow n=0 $$