به نام خدا.
جملات با شماره فرد را می نویسیم:
$ 3, \space 9, \space 21, \space 45,...$
جملات بالا را به شکل زیر هم می توان نوشت:
$3(1) ,\space 3(3), \space , 3(7), \space 3(15),...$
حال یک دنباله جدید می نویسیم:
$1, \space 3, \space 7,\space 15,...$
دنباله بالا را نیز می توان به شکل زیر نوشت:
$2^1-1,\space 2^2-1, \space 2^3-1, \space 2^4-1$
جمله $2^1-1$ را جمله ی صفرم می نامیم. پس جمله$k$ ٱم این دنباله می شود:
$2^{k+1}-1$
حال به دنباله ای که ابتدا نوشتیم بر گردید. با توجه به بالا اگر $n=2k+1$ باشد، آن گاه جمله عمومی می شود:
$a_n=3(2^{k+1}-1)$
می دانیم که
$k= \frac{n-1}{2} $
پس:
$a_n=3(2^{ \frac{n+1}{2}} -1)$
ولی اگر $n$ زوج باشد چه کنیم؟
واضح است که اگر $n$ زوج باشد، $3$ واحد از جمله بعدی اش کمتر است. پس:
$a_n=3(2^{\frac{n+2}{2}} -1)-3=3(2^{\frac{n+2}{2}} -2)$
جمله عمومی دنباله برای هر $n$ می شود:
$a_n= \frac{3(2^ \frac{n+2}{2}+ 2^ \frac{n+1}{2} -3)+3(2^ \frac{n+2}{2}-2^ \frac{n+1}{2}-1 )(-1)^n}{2} $
پس کد پایتون می شود:
n=int(input())
if n%2==0:
t= 3*(2**((n+2)/2)-2)
print(t)
else:
t=3*(2**((n+1)/2)-1)
print(t)
