فرض کنید $(x_0,y_0)$نقطه ای از تابع $y=f(x)$باشد.تعریف می کنیم$g(x)=f(x)+d$ حال $x_0$را قرار می دهیم$$g(x_0)=f(x_0)+d=y_0+d$$ یعنی نقاط عرض نمودار با $d$ جمع شده اند. حالت $-d$به همین طریق.حال تعریف کنیم$$g(x)=f(x+c)$$ قرار می دهیم$x+c=t$لذا$x=t-c$و$$g(t-c)=f(t)$$ یا $$g(x-c)=f(x)$$یعنی نمودار تابع $c$واحد به چپ منتقل شده است. حالت تفریق نیز به طریق مشابه اثبات می شود. حال تعریف کنید$$g(x)=f(bx)$$داریم$$g( \frac{x}{b} )=f(x)$$یعنی با تبدیل $x$به $bx$نقاط طول تابع به شیوه معکوس عمل می کند. بقیه موارد نیز به طریق مشابه قابل اثبات است.
