$ ax^{2} +bx+c=0$

Question

در معادله درجه دوم يعني $ ax^{2} +bx+c=0$

در اين دوحالت ريشه هاي معادله به چه سمتي ميل ميكنند..

1-)فقط $a$به سمت صفر ميل كند

2-)$a,b$به سمت صفر ميل كنند

Answer 1

$$a x^{2} +bx+c=0$$

$$x= \frac{-b \pm \sqrt{ b^{2}-4ac } }{2a} $$

حالت اول رو بررسي ميكنيم

$$ \lim_{a \rightarrow 0} \frac{-b \pm \sqrt{ b^{2}-4ac } }{2a} $$

$$ \lim_{a \rightarrow 0} \frac{-b+ \sqrt{ b^{2}-4ac } }{2a} = \frac{0}{0} $$

$$ \rightarrow \lim_{a \rightarrow 0} \frac{-b+ \sqrt{b^{2}-4ac } }{2a} . \frac{-b- \sqrt{ b^{2} -4ac} }{-b- \sqrt{ b^{2}-4ac } } $$

$$ = \lim_{a \rightarrow 0} \frac{4ac}{2a(-b- \sqrt{b^{2}-ac } )}= \frac{-c}{b} $$

$$ \lim_{a \rightarrow 0} \frac{-b- \sqrt{ b^{2}-4ac } }{2a}= \frac{-2b}{2a} = \frac{-2b}{(0)}= \infty $$

علامت بي نهايت باتوجه به علامت $b$مشخص ميشود

بنابراين

$$ { x_{1} \rightarrow \frac{-c}{a} }, { x_{2} \rightarrow \pm \infty } $$

حالت دوم رو بررسي ميكنيم

$$a x^{2} +bx+c=0 ,{a \rightarrow 0} ,\begin{cases} { x_{1} \rightarrow \frac{-c}{b} } & \ { x_{2} \rightarrow \pm \infty } & \end{cases} $$

حال اگر $b$ هم به سمت صفر ميل كند داريم..

$$ {b \rightarrow 0} \Rightarrow { x_{2} \rightarrow \frac{-c}{(0)} } \Rightarrow { x_{2} \rightarrow \infty } $$

علامت بي نهايت باتوجه به علامت$c$مشخص ميشود

بنابراين

$${ x_{1} \rightarrow \pm \infty }, { x_{2} \rightarrow \pm \infty } $$

Answer 2

اگر چند جمله ای وارونه $P(x)=ax^2+bx+c$ را در نظر بگیریم یعنی $Q(x)=cy^2+by+a$ در اینصورت بین ریشه های این دو معادله که به ترتیب با $x$ و $y$ نشان می دهیم رابطه $y=\frac 1x$ برقرار است.(چرا؟)

اما اگر $a$ به سمت صفر میل کند یعنی $a\to 0$ در اینصورت در معادله ی $cy^2+by+a=0$ داریم $cy^2+by\to 0$ و اگر فاکتور گیری کنیم داریم $y(cy+b)\to 0$ پس یا $y\to 0$ یا $y\to \frac{-b}c$ .

اما چون $x=\frac 1y$ پس یا $x\to \pm \infty$ (چون $y\to 0$ ممکن است از سمت چپ یا راست یا هردو طرف به صفر نزدیک شود) یا $x\to \frac{-c}b$ .

برای حالت دوم اگر $a\to 0,b\to 0$ اولا چون $a\to 0$ پس بنا بر قسمت قبل $x\to \pm\infty$ یا $x\to \frac{-c}b$ . ولی چون $b\to 0$ و $x=\frac{-c}b$ پس $x\to \pm \infty$ یعنی در حالت دوم هر دو ریشه به سمت $\pm \infty$ میل می کند.