نامساوی مثلثی $ |a | - |b | \leq | a-b | , |a+b | \leq |a | + |b | $

Question

اثبات اين قضيه رو ميخواستم..

$$ |a | - |b | \leq | a-b | , |a+b | \leq |a | + |b | $$

ودر چه حالتي با هم برابر هستند.

Comments

@fardina
@arvin
ممنون از پاسخ هاتون فقط ..
اين نامساويي كه من گفتم فقط يك نامساوي..اون وكه گذاشتم يعني اينكه اونا در كنار هم هستن
اثبات كلي اين نامساوي رو ميخوام

---

باید زیر پاسخ ها دیدگاه میذاشتید نه اینجا. پاسخ رو ویرایش کردم.

Answer 1

ميخواهيم به طور كلي اين موضوع رو بررسي كنيم.

بنابراين نامساوي هاي زير را مينويسيم.

1-)$$ | a+b | \leq | a| + |b | $$

2-)$$ |a-b | \leq | a | + |b | $$

3-)$$ | a| - | b | \leq | a+b | $$

4-)$$ | a | - |b | \leq | a-b| $$

5-)$$ | a | - | b| \leq |a | + | b | $$

6-)$$ | a-b | ؟ | a+b| $$

(علامت؟يعني اينكه نميتوان به طور كلي علامت نامساوي را قرار داد)

حال ميخواهيم تمام اين نامساوي هارا به يك نا مساوي كلي تبديل كنيم.

همانطور كه مشاهده ميكنيم

$ ( |a | + | b | ) \geq | a+b | , | a-b | , | a | - |b | $

$( | a | - | b | ) \leq | a+b | , | a-b| , |a | + | b| $

$ | a-b | ؟ | a+b| $

بنابراين نامساوي كلي را به صورت زير ميتوان نشان داد.

$$ |a | - |b | \leq | a-b| ? | a+b | \leq | a | + |b | $$

حال ميخواهيم نامساوي هاي بالا را اثبات كنيم

1-)$$ \begin{cases}- |a | \leq a \leq | a| & \- | b| \leq b \leq | b | & \end{cases} \rightarrow -( | a | + | b | ) \leq a+b \leq ( | a | + | b | ) \Rightarrow |a+b | \leq |a | + | b | $$

2-)$$ | a+(-b) | \leq | a| + | -b | $$

$$ | -b | =b \rightarrow | a-b | \leq | a| + | b |$$

3-)$$ | a|= | (a+b)-b | \leq | a+b | + | b| $$

$$ \rightarrow | a | \leq | a+b | + | b| \Rightarrow | a| - | b | \leq | a+b | $$

4-)$$ | a+b | \leq | a | + | b| $$

$$ \rightarrow |(a-b)+b | \leq | a-b| + |b | $$

$$ \rightarrow |a | \leq | a-b | + |b | $$

$$ \rightarrow | a | - |b | \leq | a-b| $$

5-)$$ | a | + | b | \geq |a-b | \geq | a | - | b| $$

$$ \rightarrow | a | + | b | \geq | a | - | b| $$

6-)$$ ( | a-b | )^{2} = a^{2} +b^{2} -2ab$$

$$ ( | a+b | )^{2} = a^{2} +b^{2} +2ab$$

اگر $ab=0$,$$ | a+b| = |a-b | $$

اگر$ab>0$,$$ |a+b | > | a-b | $$

اگر$ab< 0$,$$ | a+b|< | a-b| $$

در نتيجه $ | a-b | ؟ | a+b| $

Comments

کاملا درسته.

Answer 2

$$ ( | a+b| )^{2}= a^{2} + b^{2} +2ab $$

$$ ( | a | + | b| )^{2}= a^{2} + b^{2} +2 | ab | $$

حال بررسي ميكنيم در 3 حالت..

اگر $ab = 0$

$$ ( | a+b | )^{2} =( | a | + | b| )^{2} \rightarrow | a+b | = | a| + | b | $$

اگر $ab > 0$

$$ ( | a+b | )^{2} =( | a | + | b| )^{2} \rightarrow | a+b | = | a| + | b | $$

اگر$ ab< 0$

$$ ( | a+b | )^{2} > ( | a | + | b| )^{2} \rightarrow | a+b | > | a| + | b | $$

بنابراين نامساوي زير حاصل ميشود

$$ \ | a+b | \leq | a| + | b | $$

$$ ( | a-b| )^{2}= a^{2} + b^{2} -2ab $$

$$ ( | a | - | b| )^{2}= a^{2} + b^{2} -2 | ab | $$

حال بررسي ميكنيم در 3 حالت..

اگر $ab = 0$

$$ ( | a-b | )^{2} =( | a | - | b| )^{2} \rightarrow | a-b | = | a| - | b | $$

اگر $ab > 0$

$$ ( | a-b | )^{2} =( | a | - | b| )^{2} \rightarrow | a-b | = | a| - | b | $$

اگر$ ab< 0$

$$ ( | a-b | )^{2} > ( | a | - | b| )^{2} \rightarrow | a-b | > | a| -| b | $$

بنابراين نامساوي زير حاصل ميشود

$$ \ | a-b | \geq | a| - | b | $$

Answer 3

می دانیم که

برای هر $x\in\mathbb R$همواره $-|x|\leq x\leq |x|$

(چرا؟کافی است حالت های بزرگتر مساوی صفر و کوچکتر از صفر را بررسی کنید).

و همچنین

برای $k>0$ داریم: $$|x|\leq k\iff -k\leq x\leq k$$

پس از $$-|b|\leq b\leq |b|$$ و $$-|a|\leq a\leq |a|$$داریم $$-(|a|+|b|)\leq a+b\leq |a|+|b|$$.

اگر قرار دهید $|a|+|b|=k$ و $x=a+b$ در اینصورت $$-k=-(|a|+|b|)\leq \underbrace{a+b}_x\leq |a|+|b|=k$$ که بنابر نکته بالا معادل است با $$|a+b|=|x|\leq k=|a|+|b|$$ .

پس تا حالا ثابت کردیم برای هر $a,b$ داریم $|a+b|\leq |a|+|b|$ . پس از جمله برای $A=a$ و $B=-b$ داریم $|a-b|=|A+B|\leq |A|+|B|=|a|+|-b|=|a|+|b|$ .

توجه کنید که از این نکته استفاده کردیم که $|-x|=|x|$ .

---

برای اثبات رابطه ی دوم: با استفاده از قسمت قبل و قرار دادن $x=a-b$ داریم

$$|a|=|a-b+b|=|x+b|\leq |x|+|b|=|a-b|+|b|$$ بنابراین $|a|-|b|\leq |a-b|$

اگربه جای $b$ قرار دهید $-b$داریم $|a|-|b|=|a|-|-b|\leq |a-(-b)|=|a+b|$ .