چرا در اثبات گنگ بودن $ \sqrt{2} $، فرض می کنند که $a$ و $b$ عامل مشترک ندارند؟

Question

هنگامی که با برهان خلف می‌خواهیم اثبات کنیم که $ \sqrt{2} $ عددی گنگ است، برای فرض خلف گفته می‌شود که $ \sqrt{2} $ عددی گنگ نیست؛ پس گویاست. یعنی می‌توانیم آن را به‌صورت کسر $ \frac{a}{b} $ بنویسیم که $a$ و $b$ اعداد صحیح هستند که عامل مشترک ندارند.

اما چرا باید عامل مشترک نداشته‌باشند؟ مثلاً، $ \frac{7}{14} $ که $ \frac{1}{2} $ هم هست، نیز گویاست؛ فقط، عامل مشترک ۷ رو دارد. پس چرا شرط صحیح و بدون عامل مشترک بودن $a$ و $b$ رو آورده؟

Answer 1

در کسر ها معمولا ساده شده را در نظر می گیرند. مثلا بجای کسر $ \frac{7}{14}$ بهتر است بنویسید$ \frac{1}{2} $. بهر حال در اینجا فرض می کند دو کسر عامل مشترک ندارند . یعنی تا آخرین حد ساده شده اند. یا نسبت به هم اول هستند. اما با فرض خلف نشان داده می شود که صورت و مخرج عامل مشترک $2$ دارند که به تناقض می رسد. منظورتون فقط چرایی این بود نه اثبات گنگ بودن$\sqrt2$

Comments

@mahdiahmadileedari
فکر کنم منظور سوال رو متوجه شدید ولی متاسفانه من متوجه منظورتون رو متوجه نشدم من نمیفهمم (چرا دو کسر نباید عامل مشترک داشته باشن؟) که در نهایت به تناقض عامل مشترک داشتن رسیدیم....
خب میتونن داشته باشن داشتنش چه اشکالی داره؟

---

یه نفر @چرا وقتی میشه راحتر غذا خورد آن را سختر کرد؟ اگر عامل مشترک داشته باشند باید دنبال شرطی دیگر برای به تناقض رسیدن پیدا کنید. چون مبحث مربوط به اعداد گویاست و اعداد گویا را بصورت کسر  نشان می دهند فرض معمول بر این است که کسر ها تا آخرین حد ساده شده هستند.و چه شرطی از این راحتر؟

Answer 2

به نام خدا

$\sqrt{2}= \frac{a}{b} $

$ \Longrightarrow 2b^2=a^2$

از اینجا نتیجه می‌گیریم که $2 \mid a^2$، بنابراین: $2 \mid a$. پس: $a=2k,k\in \mathbb{N}$.

$2b^2=(2k)^2$

$ \Longrightarrow 2b^2=4k^2$

$ \Longrightarrow b^2=2k^2$

از اینجا نتیجه می‌گیریم که $2 \mid b^2$، بنابراین: $2 \mid b$. پس: $b=2m,m\in \mathbb{N}$. در نتیجه:

$\sqrt{2}= \frac{2k}{2m}$

$ \Longrightarrow \sqrt{2}= \frac{k}{m} $

اگر همینطور پیش برویم، نتیجه می‌گیریم که $k$ و $m$ نیز بر ۲ بخش‌پذیرند و می‌توانیم بنویسیم: $k=2t,t\in \mathbb{N}$ و $m=2r,r\in \mathbb{N}$. بعد می‌توانیم نتیجه بگیریم که $t$ و $r$ نیز بر ۲ بخش‌پذیرند و به‌همین شکل پیش می‌رویم تا به هر حال در نهایت باید به یک عدد فرد برسیم و نتیجه می‌گیریم که آن عدد فرد نیز بر ۲ بخش‌پذیر است! پس به تناقض رسیدیم و فرض خلف باطل شد و در نتیجه درستی حکم اثبات شد. اما اگر دقت کنید می‌توانیم به‌جای این کارها، همان اول اعداد را ساده شده در نظر بگیریم تا فقط نیاز به انجام یک مرحله باشد. پس باید احتمالاً متوجه شده باشید که چرا در ابتدا اعداد را نسبت به هم کاملاً ساده شده در نظر می‌گیرند و فرض می‌کنند که عامل مشترک ندارند. در واقع اثبات گنگ بودن $\sqrt{2}$، نوعی خاص از برهان خلف است که به آن Proof by infinite descent می‌گویند.