آیا محاسبات زیر که از فرض $a=b$ به عبارت $2(a^2-ab)=1(a^2-ab)$ رسیده و سپس با خط زدن عامل مشترک به $1=2$ رسیده درست است؟

Question

محاسبات جبری‌ زیر را در نظر بگیرید:

$$\begin{array}{l} a = b\\ a^2 = ab\\ a^2+a^2 = a^2+ab\\ 2a^2 = a^2+ab\\ 2a^2-2ab = a^2+ab-2ab\\ 2a^2-2ab = a^2-ab\\ 2(a^2-ab) = 1(a^2-ab)\\ 2 = 1 \end{array}$$

همانطور که دیدید، در ابتدا معادله‌ای جبری داشتیم که با انجام عملیاتی جبری روی آن، توانستیم به $2=1$ برسیم! که این ناممکن است. پس مشکل از کجاست؟

Answer 1

شما از دو طرف برابریِ یکی مانده به آخر $a^2-ab$ را خط زده‌اید که اجازهٔ این کار را ندارید. برای حذف یک عامل از دو طرف شما تنها حق فاکتور گرفتن یک عدد وارون‌پذیر که در اینجا یعنی عدد ناصفر را دارید. یعنی قانونی که می‌خواهید استفاده کنید به شرح زیر است.

$$\left.\begin{array}{l} ax=ay\\ a\neq 0 \end{array}\right\rbrace\Longrightarrow x=y$$

اما شما خودتان در برابری دوم‌تان نشان داده‌اید که $a^2=ab$ پس $(a^2-ab)=0$ پس چرا در برابری یکی مانده به آخر انتظار دارید که بتوان آن را از دو سمت خط زد؟

اگر کنجکاو هستید که چرا باید عاملی که می‌خواهید خط بزنید وارون‌پذیر باشد، علت آن این است که برای رسیدن از $ax=ay$ به $x=y$ شما دو طرف برابری را در $a^{-1}$ یعنی وارونِ ضربیِ $a$ ضرب می‌کنید و سپس از ویژگی‌های شرکت‌پذیری ضرب و غیره استفاده می‌کنید.

$$\begin{align} ax=ay &\Longrightarrow a^{-1}(ax)=a^{-1}(ay)\\ &\Longrightarrow (a^{-1}a)x=(a^{-1}a)y\\ &\Longrightarrow (1)x=(1)y\\ &\Longrightarrow x=y \end{align}$$

اکنون اگر $a$ وارون ضربی نداشته باشد، این اثبات برقرار نیست و در نتیجه دلیلی ندارد که از $ax=ay$ به $x=y$ برسید. و مثال‌نقض‌های بسیاری برای اینکه اگر $a$ وارون نداشته باشد رابطهٔ دوم برقرار نیست می‌توانید بسازید مانند همین مثالی که آوردید که پس از حذفِ غیرمجاز $a^2-ab$ از دو طرف به رابطهٔ نادرست می‌رسید و چیزی که نوشتید اثباتی برای $1=2$ نیست چون گام آخرتان نادرست است و بدون دلیل منطقی انجام شده‌است.