نکتهٔ ۱: دو مجموعهٔ متناهی با تعداد اعضای یکسان، اگر یکی زیرمجموعهٔ دیگری باشد، آنگاه در واقع این دو مجموعه با هم برابر هستند. (اثباتش باید برایتان بدیهی باشد اما اگر نمی‌توانید انجام دهید بپرسید).
نکتهٔ ۲: بیشینهٔ $\binom{n}{k}$ که $k$ بتواند از بین عددهای ۰ و ۱ و ... و $n$ گزیده‌شود (انتخاب شود)، زمانی رخ می‌دهد که $k=[\frac{n}{2}]$ (اگر $n$ فرد باشد، این بیشینه برای دو عدد رخ می‌دهد، عدد دوم $k=[\frac{n}{2}]+1$ است که در واقع برابر با $n-k$ برای $k$-ِ پیشین است). برای اثبات به پیوند زیر نگاه کنید.
https://math.irancircle.com/24773/#a24874
اکنون اثبات اینکه گردایهٔ تمام زیرمجموعه‌های $k$-عضویِ $A$ که $k=[\frac{n}{2}]$ یک پادزنجیر با بیشترین تعداد عضو ممکن نسبت به رابطهٔ زیرمجموعه‌بودن در فضای مرتبِ جزئیِ $(P(A),\subseteq)$ می‌سازد (که منظور از $P(A)$ مجموعهٔ توانیِ $A$ است).
اثبات: برای اثبات باید چه کار کرد؟ ابتدا باید نشان داد که گردایه‌ای که اشاره کردیم یک پادزنجیر است. پس از این گام شروع می‌کنیم. نام این گردایه را $B$ بگذارید. توجه کنید که هر عضو از این گردایه مجموعه‌ای $k$ عضوی هستند، اگر قرار باشد $B$ پادزنجیر نباشد یعنی دست‌کم دو عضو در $B$ هست که یکی زیرمجموعهٔ دیگری است، نه؟ اما با توجه به نکتهٔ ۱ بالا دو مجموعهٔ متناهی با تعداد یکسانی عضو، اگر یکی زیرمجموعهٔ دیگری باشد، آنگاه هر دو برابر هستند. پس در نتیجه هیچ دو عضوِ متمایزی در $B$ نیست که یکی زیرمجموعهٔ دیگری باشد. این اثباتِ پادزنجیر بودنِ $B$ را کامل می‌کند. توجه کنید که در این اثبات از اینکه $k$ را چه عددی انتخاب کردیم هنوز استفاده نکردیم، پس اگر $B$ را گردایهٔ زیرمجموعه‌های ۱-عضوی، یا $n$-عضوی (که فقط خود $A$ را شامل می‌شود)، یا صفرعضوی (که فقط تهی را شامل می‌شود)، یا هر عدد دیگری بین صفر و $n$ برمی‌داشتیم، می‌گرفتیم نیز باز هم یک پادزنجیر می‌داشتیم. از بین این $n+1$ گزینه برای پادزنجیر ساختن بنا به نکتهٔ ۲ بالا مشخص است که برای داشتن بیشترین تعداد عضو از بین این $n+1$ گزینه، انتخابِ $k=[\frac{n}{2}]$ بهترین است. توجه کنید که تعداد زیرمجموعه‌های $k$-عضویِ $A$ برابر با $\binom{n}{k}$ است.
اما آیا تنها پادزنجیرهای فضایِ مرتبِ جزئیِ $(P(A),\subseteq)$ این $n+1$ گزینه هستند؟ خیر. پس هنوز این مطلب که پادزنجیر معرفی‌شده‌مان بیشترین تعداد عضو ممکن را دارد کامل نشده‌است. بیایید یک پادزنجیر دلخواه برداریم و نام آن را $C$ بگذارید. این پادزنجیر می‌تواند تعدادی زیرمجوعهٔ صفرعضوی، یا یک‌عضوی، یا دوعضوی، ...، یا $n$-عضوی داشته باشد. البته مشخص است که اگر تنها یک صفرعضوی داریم که تهی است و اگر آن را برداریم دیگر نمی‌توانیم زیرمجموعهٔ دیگری از $A$ را برداریم چون تهی زیرمجموعهٔ هر عضو دیگری خواهدشد. و همین طور تنها یک زیرمجموعهٔ $n$-عضوی داریم که خود $A$ است و اگر آن را برداریم دیگر زیرمجموعهٔ دیگری نمی‌توانیم برداریم چون زیرمجموعهٔ $A$ خواهد بود. به هر حال بیایید برای هر $k$ای بین صفر تا $n$، تعداد اعضای $C$ که $k$ عضو دارند را با $C_k$ نمایش دهید (پس $C_k$ها زیرمجموعه‌هایی از $C$ هستند که اعضایشان زیرمجموعه‌هایی از $A$ هستند). توجه کنید که در بهترین حالت تعداد اعضای $C_k$ برابر با تعداد کل زیرمجموعه‌های $k$-عضوی خواهد شد. به هر حال، دوباره نکتهٔ ۲ بالا را به یاد آورید.
$$\forall k\in\lbrace 0,1,\dots,n\rbrace\;\colon\;\binom{n}{k}\leq\binom{n}{[\frac{n}{2}]}$$
به یاد آورید که دو کسر با صورت یکسان، آنی بزرگتر است که مخرجش کوچکتر باشد. پس:
$$\forall k\in\lbrace 0,1,\dots,n\rbrace\;\colon\; \frac{|C_k|}{\binom{n}{[\frac{n}{2}]}}\leq\frac{|C_k|}{\binom{n}{k}}$$
اکنون برای تمام گزینه‌های (انتخاب‌های) $k$ سمت‌های چپ نابرابریِ بالا را با هم و تمام سمت‌های راست را با هم جمع می‌کنیم. این کار یک نابرابریِ جدید با سمتِ نابرابریِ یکسان به ما خواهد داد.
$$\sum_{k=0}^n\frac{|C_k|}{\binom{n}{[\frac{n}{2}]}}\leq \sum_{k=0}^n\frac{|C_k|}{\binom{n}{k}}$$
اکنون از نابرابریِ لوبِل-یامامُتُ-مِشالکین Lubell-Yamamoto-Meshalkin کمک می‌گیریم که برای پادزنجیرها مانند $C$ می‌گوید جمع کسرهایی که در سمت راستِ نابرابریِ بالا می‌بینیم از ۱ کوچکتر یا مساوی می‌شود. برای این قضیه می‌توانید به صفحهٔ ویکی‌پدیایش نگاه بیندازید.
https://en.wikipedia.org/wiki/Lubell–Yamamoto–Meshalkin inequality
پس چون سمت راستِ نابرابری بالا از ۱ کوچکتریامساوی است، باید سمت چپ نیز از ۱ کوچکتر یا مساوی شود و خواهیم داشت؛
$$\sum_{k=0}^n\frac{|C_k|}{\binom{n}{[\frac{n}{2}]}}\leq 1$$
اکنون توجه کنید که $\binom{n}{[\frac{n}{2}]}$ یک عدد ثابت است، پس می‌توانیم آن را از جمع بیرون بکشیم.
$$\frac{\sum_{k=0}^n|C_k|}{\binom{n}{[\frac{n}{2}]}}\leq 1$$
اما جمع بالای کسر سمت چپ چیست؟ جمع تعداد اعضای صفرعضوی، و تعداد اعضای یک‌عضوی، و تعداد اعضای دوعضوی، و ... -ِ مجموعهٔ $C$ چیزی به جز تعداد همهٔ اعضایش بدون شرط روی تعداد عضوهایشان می‌شود؟ یعنی داریم $\sum_{k=0}^n|C_k|=|C|$. پس داریم
$$\frac{|C|}{\binom{n}{[\frac{n}{2}]}}\leq 1$$
و چون $\binom{n}{[\frac{n}{2}]}$ مثبت است اگر دو طرف را در این عدد ضرب کنیم، جهتِ نابرابری یکسان میماند.
$$|C|\leq\binom{n}{[\frac{n}{2}]}$$
این یعنی چه؟ یعنی اینکه تعداد اعضای هر پادزنجیری در فضای $(P(A),\subseteq)$ باید از $\binom{n}{[\frac{n}{2}]}$ کوچکتر یا مساوی باشد. و این تعداد اعضای پادزنجیر معرفی‌شدهٔ ما است ^_^
توجه کنید که بخش دوم اثبات برای اینکه ثابت کند که $\binom{n}{[\frac{n}{2}]}$ کرانِ بالایی برای تعداد اعضای پادزنجیرهای مطلوب ما است کافی است ولی به تنهایی ثابت نمی‌کند که این کران بالا برابر با بیشینهٔ دقیق هم است. یعنی بدون بخش اول اثبات، نمی‌توانستیم از بخش دوم به تنهایی نتیجه بگیریم که کران بالای کوچکتری وجود ندارد و این عدد می‌تواند اتخاذ شود.
