Question

در مثلث متساوی الساقین ABC و AB=AC ، اگر زاویه B=30 درجه و زاویه BC =12 درجه باشد مساحت مثلث چقدر است؟

Comments

با سلام
در سوالتان به جای ضلع BC ، زاویه BC نوشتید.

Answer 1

سلام

با توجه به خواص مثلث متساوی الساقین واضح است که :

$$B = C = 30 \longrightarrow A = 120$$

با استفاده از فرمول مساحت از طریق سینوس زاویه و دو ضلع بین می توان نوشت:

$$S_{ABC} = AB \times AC \times sin(120) \times \frac{1}{2} = 12 \times AB \times sin(30) \times \frac{1}{2}$$ $$\Rightarrow AB^{2} \times \frac{ \sqrt{3} }{2} = AB \times 6 \rightarrow AB = 4 \sqrt{3}$$ $$S_{ABC} = 16 \times 3 \times sin(120) \times \frac{1}{2} = 12 \sqrt{3}$$

روش دوم :

در مثلت متساوی الساقین ارتفاع و میانه وارد بر قائده برابر هستند،در نتیجه می توان نوشت:

$$h = tan(30) \times6 = 2 \sqrt{3}$$ $$\Rightarrow S = h \times12 \times \frac{1}{2} = 12 \sqrt{3}$$

Answer 2

با توجه سوالتان، احتمالا در دوره اول متوسطه باشید، این سوال را بدون استفاده از مثلثات، فقط در قالب یک نکته برایتان حل میکنم. حال نکته این است که:در یک مثلث قائم الزاویه ضلع روبه‌رو به زاویه ۳۰ درجه، نصف وتر است.مطابق شکل ارتفاع $AH$ را که میانه ضلع $BC$ نیز هست را رسم می‌کنیم و $AH=x$ است. با توجه به نکته‌ای که خدمتتان عرض کردم، در مثلث قائم الزاویه $AHC$ ، وتر $AC=2x$ است. با توجه قضیه فیثاغورث، در مثلث $AHC$ ،اندازه $x$ برابر با $2 \sqrt{3}$ است. پس مساحت مثلث $ABC$ برابر است با: $\frac{1}{2}AH×BC=12 \sqrt{3}$ .