حاصل $\sin(x)+\sin(2x)+...+\sin(nx)$ را بیابید.

Question

حاصل $\sin(x)+\sin(2x)+...+\sin(nx)$ را به‌دست بیاورید.

• خودم با روش مختلط حل کرده‌ام که بدین صورت است که: مجموع عبارات مختلط ($ e^{ix}, e^{2ix},...$) که به دنباله‌ای هندسی است را حساب می‌کنم سپس بخش موهومی آن را که به‌دست می‌آوریم، اما می‌خواهم روش‌های حل دیگر را نیز ببینم.

Comments

@Dana_Sotoudeh روش اعداد مختلطی یعنی چه؟ روش‌تان را به انتهای متن پست‌تان بیفزائید.

Answer 1

برای اثبات پست قبل اشاره ای کنم .قرار می دهیم

$$s_n=sina+sin(a+d)+sin(a+3d)+...+sin(a+(n-1)d)$$

دوطرف را در $2sin \frac{d}{2} $ ضرب می کنیم

$$2sin \frac{d}{2} s_n=2sin \frac{d}{2} sina+2sin \frac{d}{2}sin(a+d)+...+2sin \frac{d}{2} sin(a+(n-1)d)=cos(a- \frac{d}{2} ) -cos(a+ \frac{d}{2} )+cos(a+ \frac{d}{2} )-cos(a+ \frac{3d}{2} )+...+cos(a+ \frac{(2n-3)d}{2})-cos(a+ \frac{(2n-1)d}{2} )=cos(a- \frac{d}{2} )-cos(a+ \frac{(2n-1)d}{2})= $$

با ادامه دادن این روش و حذف جملات غیر هم علامت و تبدیل جمع کسینوس ها به ضرب سینوسها به نتیجه ممکن خواهیم رسید.

Answer 2

بر اساس یک فرمول داریم

$$sin a+sin(a+d)+sin(a+3d)+....+sin(a+(n-1)d)= \frac{sin \frac{nd}{2} }{sin \frac{d}{2} } \times sin \frac{(2a+(n-1)d)}{2} $$

حال اگر قرار دهیم

$a=x$

$d=x$

داریم

$$sinx+sin2x+...+sin (nx)= \frac{sin \frac{nx}{2} }{sin \frac{x}{2} } \times sin \frac{(n+1)x}{2} $$

Comments

با سلام خدمت شما
شیوه بدست آوردن این فرمول را لطفا در پاسختان لحاظ کنید

---

https://math.stackexchange.com/questions/1538163/prove-by-induction-sin-x-sin-2x-sin-nx-frac-sin-frac-n/1538179
لطفا به این سایت نگاه بیاندازید
اثبات جبری این موضوع بسیار وقتگیر است و نوشتن در این سایت آن هم با کمک نرم افزار کار سختی است‌. در لینک فرستاده شده هم کوتاه توضیح داده شده است.