در مثلث ABC، نقطه P به گونهای باشد که:φ=PAB=PBC=PCA ثابت کنید cot(φ)=(a²+b²+c²)/(4S)

Question

در مثلث $ABC$ نقطه $P$ به گونه‌ای قرار دارد که $P\hat{A}B=P \hat{B}C=P \hat{C}A= \varphi $ و $S$ مساحت مثلث $ABC$ حال ثابت کنید که: $cot( \varphi )= \frac{a²+b²+c²}{4S} $

Answer 1

پاره خط های $AP,BP,CP$ را به ترتیب، $x,y,z$ می نامیم.

1. با توجه به قضیه کسینوس ها: $$x²=b²+z²-2bz.cos( \varphi )$$ $$y²=c²+x²-2cx.cos( \varphi )$$ $$z²=a²+y²-2ay.cos( \varphi )$$ $$ \Longrightarrow a²+b²+c²=2(bz+cx+ay)cos( \varphi )$$

2. مساحت مثلث $ABC$ را $S$ می نامیم که برابر است با: $$S= \frac{1}{2}(bz+cx+ay)sin( \varphi) $$ با توجه موارد ۱و۲: $$cot( \varphi )= \frac{a²+b²+c²}{4S} $$

Comments

در قسمت 1 نتیجه ای که گرفتید باید به صورت $a^2+b^2+c^2=2(bz+cx+ay)\cos\varphi$ باشه.

---

سلام
ممنون از اینکه با دقت پاسخم را مطالعه کردید و ایرادش رو گفتید. چشم حتما اصلاحش میکنم.