Question

با توجه به اطلاعات موجود در شکل ثابت کنید که: $$x²+y²=u²+v²$$

Answer 1

-ثابت می کنیم سمت چپ تساوی مقدار ثابت است. برای سادگی مقدار ثابت $2R^2 $ اضافه می کنیم $$x^2 +R^2 +y^2+R^2 =OA^2 +OC^2 =t $$ حال از مرکز دایر ه بر دو ضلع BC و AD عمود می کنیم تابه ترتیب درK و H قطع کند بنابراین داریم. $$t=AH^2 +OH^2 +CK^2 +OK^2 $$ بنابر این مجموع مربعات طول دو پاره خط که از دو راس مقابل مربع ثابت بر دایره ثابت رسم می شود برابر مقدار ثابتی است که به شعاع دایره و فاصله مرکز دایره از دو ضلع موازی مربع بستگی دارد. پس حل کامل می شود.

یا می توانیم مراحل فوق برای سمت دیگر تساوی به صورت زیر انجام دهیم $2R^2 $ اضافه می کنیم. $$u^2 +R^2 +v^2+R^2 =OD^2 +OB^2 =s $$ پس داریم $$s=DH^2 +OH^2 +BK^2 +OK^2 =t $$