می دانیم که احتمال $p(A | B)$ را می توان به شکل زیر نمایش داد:
$P(A | B)= \frac{n(A \cap B)}{n(B)} $
حال صورت و مخرج را در $ \frac{1}{n(s)} $ ضرب می کنیم:
$P(A | B)= \frac{ \frac{n(A \cap B)}{n(S)} }{ \frac{n(B) }{n(S)}} = \frac{P(A \cap B)}{p(B)}$
توجه: منظور از $n(S)$ تعداد اعضای فضای نمونه است.
حال به سوال و پاسخ آن که از صفحه $55$ کتاب آمار و احتمال یازدهم گرفته شده است دقت کنید:
تیم ملی والیبال ایران$14$ بازیکن دارد که قد هیچ دو نفری برابر نیست. اگر یکی از بازیکن ها را یه تصادف انتخاب کنیم.
الف) احتمال اینکه آن بازیکن، بلند قدترین بازیکن تیم باشد؟
ب) بازیکن دیگری را به تصادف انتخاب می کنیم و مشاهده می کنیم که از بازیکن اول کوتاه تر است. احتمال اینکه بازیکن اول بلند قدترین بازیکن تیم باشد چقدر است؟
حل: پاسخ الف ساده است با توجه به اینکه یکی از $14$ بازیکن، بلند قدترین بازیکن تیم است، احتمال اینکه آن فرد همان باشد که ما تصادفا انتخاب کرده ایم $ \frac{1}{14} $ است.
برای به دست آوردن پاسخ ب دو پیشامد$A$ و $B$ رابه شکل زیر تعریف می کنیم:
$A$: بازیکن اول بلند قدترین بازیکن تیم است.
$B$: بازیکن اول بلند قدتر از بازیکن دوم است.
$P(A | B)= \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{P(A)}{P(B)} = \frac{ \frac{1}{14} }{ \frac{1}{2} } = \frac{1}{7} $
دلیل اینکه$p(B)= \frac{1}{2} $, این است که احتمال اینکه بین دو بازیکن اولی یا دومی بلند قدتر باشد، برابر است.
سوال: مگر $n(s)$ صورت و مخرج برابر بود که کتاب از رابطه
$P(A | B)= \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$
استفاده کرد؟ تعداد اعضای فضای نمونه صورت برابر با $14$ است در حالی که مخرج تعداد اعضا فضای نمونه اش برابر با $2$ است. در ابتدا برای اثبات رابطه صورت و مخرج را در $ \frac{1}{n(s)} $ ضرب کردیم. در اینجا $n(S)$ که در صورت هست با $n(S)$ مخرج برابر نیست. پس نمی توان از این رابطه استفاده کرد. پس چرا کتاب درسی سوال را اینگونه جواب داده است؟
