به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+5 امتیاز
90 بازدید
در دبیرستان توسط Dana_Sotoudeh (2,091 امتیاز)

توضیحات تصویر

در مثلث $ABC$ نقطه $P$ به گونه‌ای قرار دارد که $P\hat{A}B=P \hat{B}C=P \hat{C}A= \varphi $. بیشترین مقدار زاویه $ \varphi $ را بدست بیاورید.

1 پاسخ

+1 امتیاز
توسط moh_amin (148 امتیاز)
ویرایش شده توسط AmirHosein
 
بهترین پاسخ

همان گونه که در این لینک اثبات شد داریم :

$cot( \varphi )=\frac{a^2+b^2+c^2}{4S}$

همچنین میدانیم $\varphi$ نمی تواند بیشتر از $60°$ باشد زیرا در آن صورت مجموع زوایا بیشتر از $180°$ خواهد بود پس $\varphi$ در ربع اول مثلثاتی قرار دارد و در ربع اول با افزایش اندازه زاویه کتانژانت آن کاهش می یابد پس کافیست $min(cot(\varphi))$ را به دست آوریم. داریم :

$c^2=a^2+b^2-2ab\cdot cosC , S=\frac{ab\cdot sin(C)}{2}\Rightarrow a^2+b^2+c^2-4\sqrt{3}S=2(a^2+b^2-ab(cos(C)+\sqrt{3}sin(C)))=2(a^2+b^2-2ab\cdot sin(30°+C))) \ge 2(a^2+b^2-2ab)=2(a-b)^2 \ge 0$ $\Rightarrow a^2+b^2+c^2 \ge 4\sqrt{3}S \Rightarrow \frac{a^2+b^2+c^2}{4S} \ge \sqrt{3}$

و تساوی در حالتی رخ میدهد که $a=b$ و $C=60°$ یعنی مثلث متساوی الاضلاع باشد بنابراین :

$min(cot(\varphi))=\sqrt{3} \Rightarrow max(\varphi)=30°$

مرجع : https://math.stackexchange.com/questions/362361

توسط Dana_Sotoudeh (2,091 امتیاز)
+1
با سلام
درود بر شما، اثباتتان هم درست و علاوه بر آن بسیار زیبا بود و بهترین پاسخ آن را انتخاب کردم

حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...