Question

در مثلث $ABC$ نقطه $P$ به گونه‌ای قرار دارد که $P\hat{A}B=P \hat{B}C=P \hat{C}A= \varphi $. بیشترین مقدار زاویه $ \varphi $ را بدست بیاورید.

Comments

این سوال مرتبط با پست زیر است:
https://math.irancircle.com/25036/%D8%AF%D8%B1-%D9%85%D8%AB%D9%84%D8%AB-abc%D8%8C-%D9%86%D9%82%D8%B7%D9%87-%DA%AF%D9%88%D9%86%D9%87%D8%A7%DB%8C-%D8%A8%D8%A7%D8%B4%D8%AF-pab-pbc-pca-%D8%AB%D8%A7%D8%A8%D8%AA-%DA%A9%D9%86%DB%8C%D8%AF-cot-a%C2%B2-b%C2%B2-c%C2%B2

Answer 1

همان گونه که در این لینک اثبات شد داریم :

$cot( \varphi )=\frac{a^2+b^2+c^2}{4S}$

همچنین میدانیم $\varphi$ نمی تواند بیشتر از $60°$ باشد زیرا در آن صورت مجموع زوایا بیشتر از $180°$ خواهد بود پس $\varphi$ در ربع اول مثلثاتی قرار دارد و در ربع اول با افزایش اندازه زاویه کتانژانت آن کاهش می یابد پس کافیست $min(cot(\varphi))$ را به دست آوریم. داریم :

$c^2=a^2+b^2-2ab\cdot cosC , S=\frac{ab\cdot sin(C)}{2}\Rightarrow a^2+b^2+c^2-4\sqrt{3}S=2(a^2+b^2-ab(cos(C)+\sqrt{3}sin(C)))=2(a^2+b^2-2ab\cdot sin(30°+C))) \ge 2(a^2+b^2-2ab)=2(a-b)^2 \ge 0$ $\Rightarrow a^2+b^2+c^2 \ge 4\sqrt{3}S \Rightarrow \frac{a^2+b^2+c^2}{4S} \ge \sqrt{3}$

و تساوی در حالتی رخ میدهد که $a=b$ و $C=60°$ یعنی مثلث متساوی الاضلاع باشد بنابراین :

$min(cot(\varphi))=\sqrt{3} \Rightarrow max(\varphi)=30°$

مرجع : https://math.stackexchange.com/questions/362361

Comments

با سلام
درود بر شما، اثباتتان هم درست و علاوه بر آن بسیار زیبا بود و بهترین پاسخ آن را انتخاب کردم