$[ x^{2} +[2 x^{2} ]]=13$

Question

حل معادله زير رو ميخواستم$$[ x^{2} +[2 x^{2} ]]=13$$

تشكر!!

Answer 1

اين معادله را ميتوان جزو اين معادلات دانست..كه با روش حل كلي آنها آشنا شديم.بنابراين مينويسيم

$$[ x^{2} +[2 x^{2} ]]=13 \Rightarrow [ x^{2} ]+[2 x^{2} ]=13$$

$ x^{2} =t$

$$[t]+[2t]=13$$

$a=2,k=13$,$$n= \frac{k-[2p]}{a+1}= \frac{13-[2p]}{3} $$

$min([2p])=0$

$max([2p])=1$

حال بايد اعداد صحيحي كه دربازه ي$[0,1]$رو پيدا كنيم طوري كه از$ 13$ كم شوند ومضرب صحيحي از$3$باشند كه در نتيجه فقط$(1)$ميتواند باشد

بنابراين داريم$a=2,k=13$,$$n= \frac{k-[2p]}{a+1}= \frac{13-[2p]}{3} = \frac{13-1}{3}=4 $$

حال ما$(n=4)$را بدست آورده ايم وكافي است كه محدو دهي $p$رابدست بياورم تا محدودهي $t$مشخص شود كه براي اينكار داريم:$$[2p ]=1 \Rightarrow 1 \leq 2p < 2 \Rightarrow \frac{1}{2} \leq p < 1$$

$$ \frac{1}{2} +n \leq n+p < n+1$$

$t=n+p,(n=4)$;$$ \frac{9}{2} \leq t < 5$$

حال جايگذاري ميكنيم$t= x^{2} $,

$$ \frac{9}{2} \leq x^{2} < 5$$

بنابراين$$ \sqrt{ \frac{9}{2} } \leq | x | < \sqrt{5} $$

Answer 2

$[ x^{2} +[2 x^{2} ]]=13$ چون $[2 x^{2} ]$ صحیح است و طبق نکته زیر

$[u+k]=[u]+k$

$13=[ x^{2} +[2 x^{2} ]]=[ x^{2}] +[2 x^{2} ]$ حال دو حالت در نظر میگیریم:

الف)$x^{2} =k+r $ که در آن $0 \leq r < \frac{1}{2} $ و $ k $عددی صحیح است. در این حالت $[ x^{2}]=k$و $2 x^{2} =2k+2r $ که $0 \leq 2r < 1$ پس $[2 x^{2} ]=2k $ ومعادله به صورت $3k=13$ در می اید که جواب ندارد

الف)$x^{2} =k+r $ که در آن $\frac{1}{2} \leq r < 1$ و $ k $عددی صحیح است. در این حالت $[ x^{2}]=k$و $2 x^{2} =2k+2r $ که $1 \leq 2r < 2$ پس $[2 x^{2} ]=2k+1 $ ومعادله به صورت $3k+1=13$ در می اید که جواب $k=4$ یا $ [ x^{2}]=4 $ است. پس طبق آنچه گفته شد $x^{2} =k+r =4+r$و $\frac{1}{2} \leq r < 1$ یعنی جواب کلی برابر $4.5 \leq x^{2} < 5$ است.

$ \sqrt{4.5} \leq \mid x \mid < \sqrt{5} $

Answer 3

فرض کنید $k\leq x^2< k+1$ که $k\in\mathbb Z$. در این صورت دو حالت را در نظر می گیریم:

حالت اول: اگر $k\leq x^2< k+\frac 12$ در این صورت $[x^2]=k$ و $[2x^2]=2k$و با جاگذاری در معادله اصلی داریم : $k+2k=13$ ولی چون در اینجا $k=\frac {13}3$ صحیح نیست لذا در این حالت جوابی نداریم.

حالت دوم: $k+\frac 12\leq x^2< k+1$ آنگاه $[x^2]=k$ و $[2x^2]=2k+1$ که با جاگذاری در معادله اصلی داریم $k+2k+1=13$ پس $k=\frac {12}3=4$ . یعنی در این حالت جواب برابر است با $\frac 92=4+\frac 12\leq x^2< 4+1=5$ .

لذا جواب برابر است با $\sqrt{\frac 92}\leq x< \sqrt 5$ یا $-\sqrt 5< x\leq -\sqrt{\frac 92}$ .