چنانچه محفل ریاضی را سودمند یافتید، لطفا برای حمایت از ما به کانال تلگرامی محفل ریاضی بپیوندید!
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+5 امتیاز
184 بازدید
سوال شده در دبیرستان و دانشگاه توسط arvin
ویرایش شده توسط fardina

حل كلي معادلات به صورت زير رو ميخواستم..!!

$$[x]+[ax]+[bx]+[cx]=k$$

$a,b,c,k \in Z$

2 پاسخ

+5 امتیاز
پاسخ داده شده توسط saderi7
ویرایش شده توسط saderi7

براي حل معادلات به صورت زير$$[x]+[ax]+[bx]+[cx]=k$$

داريم$$ x=n+p, 0 \leq p < 1 \Rightarrow [p]=0$$

$$ax=an+ap,0 \leq ap < a \Rightarrow [ap]=0, \pm 1, \pm 2,...,(a-1),a$$

$$bx=bn+bp,0 \leq bp < b \Rightarrow [bp]=0, \pm 1, \pm 2,...,(b-1),b$$

$$cx=cn+cp,0 \leq cp < c \Rightarrow [cp]=0, \pm 1, \pm 2,...,(c-1),c$$

حال جايگذاري ميكنيم

$$[x]+[ax]+[bx]+[cx]=k \Rightarrow\ [n+p]+[an+ap]+[bn+bp]+[cn+cp]=k$$

$$ \Rightarrow (n+[p])+(an+[ap])+(bn+[bp])+(cn+[cp])=k$$

$$ \Rightarrow (n+an+bn+cn)+([p]+[ap]+[bp]+[cp])=k$$

$$ \Rightarrow n(1+a+b+c)+([p]+[ap]+[bp]+[cp])=k$$

$$ \Rightarrow n(1+a+b+c)=k-([p]+[ap]+[bp]+[cp])$$

$$n= \frac{k-([p]+[ap]+[bp]+[cp])}{1+a+b+c},([p]=0) $$

$$n= \frac{k-([ap]+[bp]+[cp])}{1+a+b+c} $$

$[ap]=0, \pm 1, \pm 2,...,(a-1),a$

$[bp]=0, \pm 1, \pm 2,...,(b-1),b$

$[cp]=0, \pm 1, \pm 2,...,(c-1),c$

$$ \begin{cases}min([ap]+[bp]+[cp]) =(0)+(0)+(0)=0& \max([ap]+[bp]+[cp]) =(a-1)+(b-1)+(c-1)=(a+b+c-3)& \end{cases} $$

بنابراين اعدادي صحيحي كه در فاصله ي$[0,a+b+c-3]$ از $k$كم شوند ومضرب صحيحي از$(a+b+c+1)$باشند جواب مساله است به عبارت ديگر:

باتوجه به اينكه $n \in Z$مي باشد بنابراين$(1+a+b+c) \mid k-([ap]+[bp]+[cp])$


حال مثال زير را حل ميكنيم$$[x]+[2x]+[4x]=15$$

$a=2,b=4,k=15$

$$n= \frac{k-([2p]+[4p])}{a+b+1} \Rightarrow n= \frac{15-([2p]+[4p])}{7} $$

$min([4p]+[2p])=0$

$max([2p]+[4p])=(2-1)+(4-1)=4$

حال بايد اعداد صحيحي كه در بازه ي $[0,4]$قرار دارندرو پيدا كنيم طوري كه از $15$كم شوند ومضرب صحيحي از$7$باشند كه در نتيجه فقط$(1)$ميتواند باشد.

بنابراين داريم$$[2p]+[4p]=1 \in [0,4] \Rightarrow n= \frac{15-1}{7} =2$$

حال ما $(n=2)$ بدست آورديم وكافي است كه محدوده ي$p$ را هم بدست بيا وريم تا محدوده ي $x$مشخص شود. ;كه براي اين كار داريم

$$[2p]+[4p]=1$$

در اين صورت دو حالت پيش مي آيد.

حالت اول:$$[2p]=0 \rightarrow 0 \leq 2p < 1 \Rightarrow 0 \leq p < \frac{1}{2} $$

$$[4p]=1 \rightarrow 1 \leq 4p < 2 \Rightarrow \frac{1}{4} \leq p < \frac{1}{2} $$

$$p \in [0, \frac{1}{2} ) \cap [ \frac{1}{4} , \frac{1}{2} )=[ \frac{1}{4} , \frac{1}{2} )$$

$$ \frac{1}{4} \leq p < \frac{1}{2} \Rightarrow n+ \frac{1}{4} \leq n+p < n+ \frac{1}{2} $$

$$n+p=x,(n=2) \Rightarrow 2+ \frac{1}{4} \leq x < 2+ \frac{1}{2} $$

$$ \frac{9}{4} \leq x < \frac{5}{2} $$

حالت دوم:$$[2p]=1 \rightarrow 1 \leq 2p < 2 \Rightarrow \frac{1}{2} \leq p< 1$$

$$[4p]=0 \rightarrow 0 \leq 4p <1 \Rightarrow 0 \leq p \leq \frac{1}{4} $$

$$p \in [ \frac{1}{2} , 1 ) \cap [ 0 , \frac{1}{4} )= \oslash $$

بنابراين چون اشتراكي بين حالت دوم نيست جواب معادله برابر است با حالت اول يعني$$ \frac{9}{4} \leq x < \frac{5}{2} $$

دارای دیدگاه توسط fardina
+2
شاید منظورتون درست باشه ولی از نظر ریاضی چیزی که نوشتین: $0\leq ap< a$ یعنی $0< a$ درسته؟ یعنی $a$ رو مثبت فرض کردید. پس دومی هم منظورتون درسته ولی ریاضیش نه.
حالا مجموعه جواب $x$ در آخر چطوری به دست میاد؟
دارای دیدگاه توسط saderi7
+2
@fardina
مثال با حل رو اضافه كردم به پاسخ ميتونيد ببينيد!!
دارای دیدگاه توسط fardina
+3
پس شانس آوردیم که فقط یک جواب برای n به دست اومد. فرض کنید که هم 1 و هم 2 قابل قبول بودن. در اینصورت باید دو معادله دیگرو باز حل میکردیم. اینجا تازه شانس اوردیم که عدد 1 قابل قبول بود و حالت های کمتری به وجود اومد!
به هرحال از نظر من هر دو تاروش که گفتیم دقیقا یکی هستن. و واقعا راه کوتاهتری وجود نداره. یا حداقل من راه حل کوتاهتری در حال حاضر بلد نیستم.
ولی کلا اینجور سوالات که حالت کلیشونو میپرسید به نظر من بهتره که ایده حلشو یادبگیرید تا اینکه بخواید فرمولی چیزی حتما براش پیدا کنید.
دارای دیدگاه توسط saderi7
+3
من هم با نظر (fardina) موافق هستم..
اگر معادله اي به ما بدهند كه مثلابراي $n$,$2$جواب داشته باشيم .بايد براي بدست آوردن محدوده ي $p$چند ين نامعادله حل كنيم واشتراك بگيريم...
دارای دیدگاه توسط arvin
+2
@fardina
@saderi7
ممنون از پاسخ ومثال ها..
+3 امتیاز
پاسخ داده شده توسط fardina

به نظر من جواب این سوال بسیار طولانی و خسته کننده س و هیچ فایده ای هم نداره! و در عین حال بسیار ساده است.با یک مثال ایده حل این چنین مسایلی رو توضیح میدم. فرض کنید بخواهیم معادله $$[x]+[2x]+[5x]=3$$ را حل کنیم.

اگر $ k\leq x < k+1$ در این صورت باید چند حالت در نظر بگیریم:

حالت اول: $k\leq x< k+\frac 15$ در اینصورت $[x]=k$ و $$\begin{cases}2k\leq 2x< 2k+\frac 25\Rightarrow [2x]=2k\\ 5k\leq 5x< 5k+1\Rightarrow [5x]5k\end{cases}$$

اگر انها را در معادله اصلی جاگذاری کنیم داریم: $$[x]+[2x]+[5x]=k+2k+5k=3$$ بنابراین $k=\frac{3}{8}$ اما چون باید $k$ صحیح باشد پس در اینجا جواب نداریم.


حالت دوم: $k+\frac 15\leq x< k+\frac 12 $ در این صورت $[x]=k$ و $$\begin{cases}2k+\frac 25\leq 2x< 2k+1\Rightarrow [2x]=2k\\ 5k+1\leq 5x< 5k+\frac 52&(*)\end{cases}$$ اما برای $ (*) $ دو حالت وجود دارد:

حالت 1: اگر $5k+1\leq 5x< 5k+2$ آنگاه $[5x]=5k+1$ و با جاگذاری در معادله اصلی داریم: $$[x]+[2x]+[5x]=k+2k+5k+1=3$$ در اینصورت $k=\frac 28$ و بنابراین در اینجا هم جواب نداریم.

حالت 2: اگر $5k+2\leq 5x< 5k+\frac 52$ در اینصورت $[5x]=5k+2$ و با جاگذاری در معادله اصلی داریم $$[x]+[2x]+[5x]=k+2k+5k+2=3$$ در اینصورت $k=\frac 18$ بنابراین در اینجا هم جواب نداریم.


حالت سوم: اگر $k+\frac 12\leq x< k+1$ در این صورت $[x]=k$ و $$\begin{cases}2k+1\leq 2x< 2k+2\Rightarrow [2x]=2k+1\\ 5k+\frac 52\leq 5x< 5k+5\end{cases}$$

اما معادله اخیر خود دارای چند حالت است:

حالت 1: اگر $5k+\frac 52\leq 5x< 5k+3$در این صورت $[5x]=5k+2$ و با جاگذاری در معادله اصلی $$[x]+[2x]+[5x]=k+2k+1+5k+2=3$$ لذا $k=0$ بنابراین $\frac 12\leq x< \frac 35$ در این حالت جواب می باشد.

حالت 2: اگر $5k+3\leq 5x< 5k+4$ در این صورت $[5x]=5k+3$ و با جاگذاری در معادله اصلی $[x]+[2x]+[5x]=k+2k+1+5k+3=3$ لذا $k=-\frac 18$ بنابراین در این حالت جواب نداریم.

حالت 3: اگر $5k+4\leq 5x< 5k+5$ در این صورت $[5x]=5k+4$ و با جاگذاری داریم $$[x]+[2x]+[5x]=k+2k+1+5k+4=3$$ و از اینجا هم به دست می آوریم $k=-\frac 28$پس اینجا هم جواب نداریم.

بنابراین جواب برابر است با $[\frac 12,\frac 35)$

لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
62 نفر آنلاین
0 عضو و 62 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 385
بازدید دیروز: 6817
بازدید کل: 4709527
...